Đáp án: (2$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$;$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$); (-2$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$; -$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$); (1;1); (-1; -1)
Giải thích các bước giải:
Hệ phương trình: $\left \{ {{5x^{2}y-4xy^{2}+3y^{3}-2(x+y)=0} (1)\atop {xy(x^{2}+y^{2})+2=(x+y)^{2}} (2)}\right.$
Ta có: (2) ⇔ xy($x^{2}$ + $y^{2}$) + 2 = $x^{2}$ + 2xy + $y^{2}$
⇔ (xy - 1)($x^{2}$ + $y^{2}$ - 2) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}xy=1\\x^{2} + y^{2} - 2 = 0\end{array} \right.\)
* Trường hợp 1: xy = 1, thay vào (1) ta được:
5x - 4y + 3$y^{3}$ - 2(x+y) = 0 mà x = $\frac{1}{y}$
nên ta được 3$y^{3}$ + $\frac{3}{y}$ - 6y = 0
⇔ $y^{4}$ - 2.$y^{2}$ + 1 = 0
⇔ y = ±1 ⇒ x = ±1
* Trường hợp 2: $x^{2}$ + $y^{2}$ - 2 = 0 ⇔ $x^{2}$ + $y^{2}$ = 2, thay vào (1) ta được:
5$x^{2}$y - 4x$y^{2}$ + 3$y^{3}$ - ($x^{2}$ + $y^{2}$)(x+y) = 0
⇔ 2$y^{3}$ + 4$x^{2}$y - 5x$y^{2}$ - $x^{3}$ = 0
⇔ ($y^{3}$ - $x^{3}$) + ($y^{3}$ + 4$x^{2}$y - 5x$y^{2}$) = 0
⇔ $(y-x)^{2}$(2y-x) = 0
Nếu x = y mà $x^{2}$ + $y^{2}$ = 2 nên (x;y) = (1;1) hoặc (-1;-1)
Neeys x=2y mà $x^{2}$ + $y^{2}$ = 2 nên (x;y) = (2$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$;$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$) hoặc (-2$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$; -$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$)
Vậy hệ có 4 nghiệm: (2$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$;$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$); (-2$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$; -$\sqrt[]{\frac{2}{5}}$); (1;1); (-1; -1)
