Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ.
Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) bằng phương pháp đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {1 - y} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) ẩn \(t,\) tham số \(x\) để tìm \(t.\)
Từ đó biến đổi \(y\) theo \(x.\)
Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) để giải hệ phương trình.
Giải chi tiết:\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {y + 1} \right) + 3x + 1 = {x^2}\sqrt {1 - y} \,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + 9 = 6x\sqrt {1 - y}  - \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\y \le 1\end{array} \right..\)
Giải phương trình \(\left( 1 \right):\,\,\,{x^2}\left( {y + 1} \right) + 3x + 1 = {x^2}\sqrt {1 - y} \)
Đặt \(t = \sqrt {1 - y} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow {t^2} = 1 - y \Leftrightarrow y = 1 - {t^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2}\left( {1 - {t^2} + 1} \right) + 3x + 1 = {x^2}t\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {2 - {t^2}} \right) + 3x + 1 = {x^2}t\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - {x^2}{t^2} + 3x + 1 = {x^2}t\\ \Leftrightarrow {x^2}{t^2} + {x^2}t - 2{x^2} - 3x - 1 = 0\end{array}\)
Phương trình có: \(\Delta  = {x^4} - 4.{x^2}\left( { - 2{x^2} - 3x - 1} \right)\)
                                \(\begin{array}{l} = {x^4} + 8{x^4} + 12{x^3} + 4{x^2}\\ = 9{x^4} + 12{x^3} + 4{x^2}\\ = {\left( {3{x^2} + 2x} \right)^2} > 0\,\,\forall x \ge 1\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{ - {x^2} + 3{x^2} + 2x}}{{2{x^2}}} = \dfrac{{2{x^2} + 2x}}{{2{x^2}}} = \dfrac{{x + 1}}{x}\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_1} = \dfrac{{ - {x^2} - 3{x^2} - 2x}}{{2{x^2}}} = \dfrac{{ - 4{x^2} - 2x}}{{2{x^2}}} =  - \dfrac{{2x + 1}}{x}\end{array} \right.\)
Vì \(x \ge 1 \Rightarrow  - \dfrac{{2x + 1}}{x} < 0\) \( \Rightarrow t =  - \dfrac{{2x + 1}}{x}\,\,\left( {ktm\,\,t \ge 0} \right)\)
Ta có: \(t = \dfrac{{x + 1}}{x} \Rightarrow \sqrt {1 - y}  = \dfrac{{x + 1}}{x}\) \( \Leftrightarrow x\sqrt {1 - y}  = x + 1\)
Thay biểu thức trên vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 9 = 6\left( {x + 1} \right) - \sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} + 9 = 6x + 6 - \sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 3 + \sqrt {x - 1}  = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 + \sqrt {x - 1}  - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) + \dfrac{{x - 1 - 4}}{{\sqrt {x - 1}  + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) + \dfrac{{x - 5}}{{\sqrt {x - 1}  + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt {x - 1}  + 2}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - 5 = 0\,\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow x = 5\,\,\,\,\left( {tm} \right)\,\,\,\end{array}\)
Vì \(\,x - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt {x - 1}  + 2}} > 0\,\,\,\forall x \ge 1\)
\( \Rightarrow \sqrt {1 - y}  = \dfrac{{x + 1}}{x} \Leftrightarrow \sqrt {1 - y}  = \dfrac{6}{5}\) \( \Leftrightarrow 1 - y = \dfrac{{36}}{{25}} \Leftrightarrow y =  - \dfrac{{11}}{{25}}\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {5; - \dfrac{{11}}{{25}}} \right).\)
Chọn A.