Đáp án: $(x,y,z)=(1,1,1)$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{cases}x^3+x^2+2x-3=y\\ y^3+y^2+2y-3=z\\ z^3+z^2+2z-3=x\end{cases}$
$\to \begin{cases}x^3+x^2+2x-4=y-1\\ y^3+y^2+2y-4=z-1\\ z^3+z^2+2z-4=x-1\end{cases}$
$\to \begin{cases}(x-1)(x^2+2x+4)=y-1\\ (y-1)(y^2+2y+4)=z-1\\ (z-1)(z^2+2z+4)=x-1\end{cases}$
Nhân vế với vế hai phương trình
$\to (x-1)(y-1)(z-1)(x^2+2x+4)(y^2+2y+4)(z^2+2z+4)=(x-1)(y-1)(z-1)$
$\to (x-1)(y-1)(z-1)(x^2+2x+4)(y^2+2y+4)(z^2+2z+4)-(x-1)(y-1)(z-1)=0$
$\to (x-1)(y-1)(z-1)((x^2+2x+4)(y^2+2y+4)(z^2+2z+4)-1)=0$
Mà $x^2+2x+4=(x+1)^2+3\ge 3$
Tương tự $y^2+2y+4\ge 3, z^2+2z+4\ge 3$
$\to (x^2+2x+4)(y^2+2y+4)(z^2+2z+4)\ge 3^3$
$\to (x^2+2x+4)(y^2+2y+4)(z^2+2z+4)-1\ge 3^3-1>0$
$\to (x-1)(y-1)(z-1)=0$
$\to x=1$ hoặc $y=1$ hoặc $z=1$
Xét $x=1$ (hai trường hợp còn lại tương tự
$\to \begin{cases}(1-1)(x^2+2x+4)=y-1\\ (y-1)(y^2+2y+4)=z-1\\ (z-1)(z^2+2z+4)=1-1\end{cases}$
$\to \begin{cases}0=y-1\\ (y-1)(y^2+2y+4)=z-1\\ (z-1)(z^2+2z+4)=0\end{cases}$
$\to \begin{cases}y=1\\ (y-1)(y^2+2y+4)=z-1\\ z=1\end{cases}$
$\to x=y=z=1$
