Đáp án: $(x; y) = (- 3; - 1)$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ $ - 2 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ - 2 < 0$
$ - 1 - 10y ≥ 0 ⇔ y ≤ - \dfrac{1}{10} < 0$
Biến đồi tương đương PT thứ 2:
$(x + 1)\sqrt{(y - 2)² + 1} = (y - 1)\sqrt{x² + 1}$
$ ⇔ \dfrac{x + 1}{\sqrt{x² + 1}} = \dfrac{(y - 2) + 1}{\sqrt{(y - 2)² + 1}} (1)$
Xét hàm số $:f(t) = \dfrac{t + 1}{\sqrt{t² + 1}}$ xác định và liên tục với $∀t < 0$
$ f'(t) = \dfrac{\sqrt{t² + 1} - \dfrac{t(t + 1)}{\sqrt{t² + 1}}}{t² + 1} = \dfrac{1 - t}{(t² + 1)\sqrt{t² + 1}} > 0 $ với $∀t < 0$
$ ⇒ f(x) $ đồng biến với $ ∀t < 0$
Nghĩa là $ f(t_{1}) ≤ f(t_{2}) ⇔ t_{1} =< t_{2} (2)$
Từ $(2) ⇒ (1) ⇔ x = y - 2 ⇔ y = x + 2$ thay vào PT thứ nhất
$ \sqrt{x² + 7} + \sqrt{- 2 - x} + \sqrt{- 1 - 10(x + 2)} = 8$
$ ⇔ \sqrt{x² + 7} - 4 + (\sqrt{- 2 - x} - 1) + \sqrt{- 21 - 10x} - 3 = 0$
$ ⇔ \dfrac{(x² + 7) - 16}{\sqrt{x² + 7} + 4 } + \dfrac{(- 2 - x) - 1}{\sqrt{- 2 - x} + 1} + \dfrac{(- 21 - 10x) - 9 }{\sqrt{- 21 - 10x} + 3} = 0$
$ ⇔ \dfrac{x² - 9}{\sqrt{x² + 7} + 4 } - \dfrac{x + 3}{\sqrt{- 2 - x} + 1} - \dfrac{10(x + 3)}{ \sqrt{- 21 - 10x} + 3} = 0 $
$ ⇔ (x + 3)(\dfrac{x - 3}{\sqrt{x² + 7} + 4 } - \dfrac{1}{\sqrt{- 2 - x} + 1} - \dfrac{10 }{ \sqrt{- 21 - 10x} + 3}) = 0 $
( vì $x < - 2 ⇒ x - 3 < - 5 < 0$ nên biểu thức trong ngoặc $< 0$)
$ ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = - 3 < - 2 ⇒ y = - 1 < \dfrac{1}{10} (TM)$
