Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:\(\left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = {x^2} - 2{y^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x\sqrt {x - 1} - y\sqrt {x - 1} = x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
ĐK: \(x \ge 1\) .
Xét phương trình (1) của hệ ta có:
\(xy + x + y = {x^2} - 2{y^2} \Leftrightarrow {x^2} - x\left( {y + 1} \right) - 2{y^2} - y = 0\). Ta coi đây là phương trình bậc 2 của x thì ta có: \(\Delta = {\left( {y + 1} \right)^2} + 8{y^2} + 4y = 9{y^2} + 6y + 1 = {\left( {3y + 1} \right)^2}\).
Từ đó suy ra:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{y + 1 - 3y - 1}}{2} = - y\\x = \frac{{y + 1 + 3y + 1}}{2} = 2y + 1\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: x = -y.
Từ phương trình (2) của hệ ta có điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y \ge 0\\2x + y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- y + 4y \ge 0\\- 2y + y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y \ge 0\\- y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y = 0 \Rightarrow x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\)
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2: $\(x = 2y + 1 \Rightarrow y \ge 0\) thay vào phương trình (2) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {2y + 1} \right)\sqrt {2y} - y\sqrt {2y} = 2y + 2 \Leftrightarrow y\sqrt {2y} + \sqrt {2y} = 2\left( {y + 1} \right)\\\Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {\sqrt {2y} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2y} - 2 = 0 \Leftrightarrow y = 2 \Rightarrow x = 5\end{array}\)
Vậy hệ có một cặp nghiệm: \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;2} \right)\)
Vậy đáp án đúng là D
