Bài 16
a) Xét ptrinh hoành độ giao điểm
$x^2 - 4x +3 = mx + 2 - 2m$
$<-> x^2 - (m + 4)x + 2m + 1 = 0$
Ta có
$\Delta = (m+4)^2 -4(2m+1) = m^2 + 8m + 16 - 8m - 4 = m^2 + 12 \geq 12 > 0$ với mọi $m$.
Do đó ptrinh trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi hoành độ của $M,N$ lần lượt là $x_1, x_2$.
Khi đó tọa độ của $M, N$ lần lượt là $mx_1 + 2-2m, mx_2 + 2-2m$
Khi đó $x_1, x_2$ là nghiệm của ptrinh trên.
Điểm K có tọa độ là $K(2,2)$
Khi đó ta có
$\vec{KM} = (x_1 - 2, mx_1 - 2m), \vec{KN} = (x_2 - 2, mx_2 - 2m)$
Khi đó ta có
$KM = 2KN$
$<-> KM^2 = 4KN^2$
$<-> (x_1 - 2)^2 + (mx_1 - 2m)^2 = 4(x_2 - 2)^2 + 4(mx_2 - 2m)^2$
$<-> (x_1 - 2)^2 + m^2(x_1 - 2)^2 = 4(x_2 - 2)^2 + 4m^2(x_2 - 2)^2$
$<-> (m^2 + 1)(x_1 - 2)^2 = 4(m^2 + 1)(x_2 - 2)^2$
Ta thấy $m^2 + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $m$ nên ptrinh trở thành
$(x_1 - 2)^2 = 4(x_2 - 2)^2$
$<-> |x_1 - 2| = 2|x_2 - 2|$
TH1: $x_1 - 2 = 2x_2 - 4$
Hai nghiệm của ptrinh là $x = \dfrac{m + 4 \pm \sqrt{m^2 + 12}}{2}$
Suy ra
$\dfrac{m + 4 - \sqrt{m^2 + 12}}{2} - (m + 4 + \sqrt{m^2 + 12}) = -2$
$<-> m + 4 - \sqrt{m^2 + 12} - 2m - 8 - 2\sqrt{m^2 + 12} = -4$
$<-> 3\sqrt{m^2 + 12} = -m$
ĐK: $m \leq 0$. Bình phương 2 vế ta có
$9m^2 + 108 = m^2$
$<-> m^2 = -\dfrac{27}{2}$
Vậy ko có $m$ thỏa mãn
TH2: $x_1 - 2 = 4- 2x_2$
$<-> x_1 + 2x_2 = 6$
Hai nghiệm của ptrinh là $x = \dfrac{m + 4 \pm \sqrt{m^2 + 12}}{2}$
Từ đẳng thức trên ta suy ra
$m + 4 + \sqrt{m^2 + 12} + \dfrac{m + 4 - \sqrt{m^2 + 12}}{2} = 6$
$<-> 2m + 8 + 2\sqrt{m^2 + 12} + m + 4 - \sqrt{m^2 + 12} = 12$
$<-> \sqrt{m^2 + 12} + 3m = 0$
$<-> \sqrt{m^2 + 12} = -3m$
ĐK: $m < 0$. Bình phương 2 vế ta có
$m^2 + 12 = 9m^2$
$<-> 8m^2 = 12$
$<-> m^2 = \dfrac{3}{2}$
$<-> m = \pm \dfrac{\sqrt{6}}{2}$
Do $m < 0$ nên $m = - \dfrac{\sqrt{6}}{2}$
Vậy $m = -\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
