Đáp án:
$\\$
`a,`
Do `AM` là đường trung tuyến
`-> M` là trung điểm của `BC`
`-> BM=CM`
Xét `ΔAMB` và `ΔDMC` có :
`hat{AMB}=hat{DMC}` (2 góc đối đỉnh)
`BM=CM` (chứng minh trên)
`MA=MD` (giả thiết)
`-> ΔAMB = ΔDMC` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
`b,`
Do `ΔAMB = ΔDMC` (chứng minh trên)
`-> AB=DC` (2 cạnh tương ứng)
và `hat{BAM}=hat{CDM}` (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ AB//DC$
Do `ΔABC` vuông tại `A`
`-> AB⊥AC`
mà $AB//DC$ (chứng minh trên)
`-> DC⊥AC`
Xét `ΔBAC` và `ΔDCA` có :
`AB=DC` (chứng minh trên)
`AC` chung
`hat{BAC}=hat{DCA}=90^o` (Do `AB⊥AC, DC⊥AC`)
`-> ΔBAC = ΔDCA` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
`c,`
Áp dụng định lí Pitago cho `ΔABC` vuông tại `A` có :
`AB^2 +AC^2=BC^2`
`-> BC^2=6^2 +8^2`
`-> BC^2=10^2`
`->BC=10cm`
Do `ΔBAC = ΔDCA` (chứng minh trên)
`-> BC = AD` (2 cạnh tương ứng)
mà `BC=10cm`
`-> AD=10cm`
Có : `MA=MD` (giả thiết)
`-> M` là trung điểm của `AD`
`-> AM = 1/2 AD`
`->AM=1/2.10`
`-> AM=5cm`
$\\$
`d,`
Có : `M` là trung điểm của `AD`
`-> AM=1/2AD`
`-> AD=2AM`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔACD` có :
`DC + AC > AD`
mà `AB=DC` (chứng minh trên), `AD=2AM` (chứng minh trên)
`-> AB + AC > 2AM`
`-> AM < (AB+AC)/2`
