a) Ta có
$\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}$
$<-> ad<>
$<-> ab + ad < ab + bc$
$<-> a(b+d) < b(a+c)$
$<-> \dfrac{a(b+d)}{b} < a+c$
$<-> \dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+d}$
Mặt khác, cũng với lý do trên thì
$ad < bc$
$<-> ad + cd < bc + cd$
$<-> d(a+c) < c(b+d)$
$<-> \dfrac{a+c}{b+d} < \dfrac{c}{d}$
Vậy ta có
$\dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+d} < \dfrac{c}{d}$.
b) Áp dụng BDT Cauchy ta có
$xy \leq \dfrac{(x+y)^2}{4} $
$<->xy \leq \dfrac{2^2}{4} = 1$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = 1$.