a) Xét $ΔBME$ và $ΔBAC$ có:
$\widehat{BME} = \widehat{BAC} = 90^o$
$\widehat{ABC}:$ góc chung
Do đó $ΔBME\sim ΔBAC \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{BM}{AB} = \dfrac{BE}{BC}$
$\Rightarrow AB.BE = BM.BC$
b) Ta có:
$EM\perp BI \, (EM\perp BC)$
$BBM = MI \, (gt)$
$\Rightarrow ΔBEI$ cân tại $E$
$\Rightarrow \widehat{BEM} = \widehat{MEI}$
Ta lại có: $\widehat{BEM} = \widehat{MCK}$ $(\widehat{BEM} = \widehat{BCA})$
nên $\widehat{MEI} = \widehat{MCK}$
Xét $ΔMEI$ và $ΔMCK$ có:
$\widehat{EMI}:$ góc chung
$\widehat{MEI} = \widehat{MCK} \, (cmt)$
Do đó $ΔMEI\sim ΔMCK \, (g.g)$
c) Xét $ΔBEC$ có:
$EM\perp BC$
$CA\perp BE$
$K=EM\cap CA$
$\Rightarrow K$ là trực tâm
$\Rightarrow BH\perp EC$
Xét $ΔBMK$ và $ΔBHC$ có:
$\widehat{HBC}:$ góc chung
$\widehat{BMK} = \widehat{BHC} = 90^o$
Do đó $ΔBMK\sim ΔBHC \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{BM}{BH} = \dfrac{BK}{BC}$
$\Rightarrow BM.BC = BH.BK$ $(1)$
Xét $ΔCMK$ và $ΔCAB$ có:
$\widehat{ACB}:$ góc chung
$\widehat{CMK} = \widehat{CAB} = 90^o$
Do đó $ΔCMK\sim ΔCAB\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{CM}{CA} = \dfrac{CK}{BC}$
$\Rightarrow CM.BC = CA.CK$ $(2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow CA.CK + BH.HK = CM.BC + BM.BC = BC(CM + BM) = BC.BC = BC^2$
d) Xét $ΔABK$ và $ΔHCK$ có:
$\widehat{BAK} = \widehat{CHK} = 90^o$
$\widehat{AKB} = \widehat{HKC}$ (đối đỉnh)
Do đó $ΔABK\sim ΔHCK \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AK}{HK} = \dfrac{BK}{CK}$
$\Rightarrow \dfrac{AK}{BK} = \dfrac{HK}{CK}$
Xét $ΔAKH$ và $ΔBKC$ có:
$\dfrac{AK}{BK} = \dfrac{HK}{CK}$ $(cmt)$
$\widehat{AKH} = \widehat{BKC}$ (đối đỉnh)
Do đó $ΔAKH\sim ΔBKC \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{KHA} = \widehat{KCB}$
hay $\widehat{KHA} = \widehat{ACB}$
mà $\widehat{ACB}$ không đổi
nên $\widehat{KHA}$ không đổi
