Đáp án:
$\begin{array}{l}
a)Khi:m = 2\\
\left( d \right):y = x + 2\\
Xet:{x^2} = x + 2\\
\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 \Leftrightarrow y = {x^2} = 4\\
x = - 1 \Leftrightarrow y = {x^2} = 1
\end{array} \right.\\
Vậy\,\left( d \right) \cap \left( P \right):\left( {2;4} \right);\left( { - 1;1} \right)\,khi:m = 2
\end{array}$
b) Gọi điểm cố định mà (d) luôn đi qua là M(x;y)
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow y = \left( {m - 1} \right).x + m\forall m\\
\Leftrightarrow y = mx - x + m\forall m\\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right).m = y + x\forall m\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
y + x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = - x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow M\left( { - 1;1} \right)
\end{array}$
Vậy (d) luôn đi qua M(-1;1)
c) Xét pt hoành độ giao điểm
$\begin{array}{l}
{x^2} = \left( {m - 1} \right).x + m\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right).x - m = 0\\
\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4.\left( { - m} \right)\\
= {m^2} - 2m + 1 + 4m\\
= {\left( {m + 1} \right)^2}\\
\Delta > 0\\
\Leftrightarrow m\# - 1\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m - 1\\
{x_1}{x_2} = - m
\end{array} \right.
\end{array}$
Để cắt nhau tại 2 điểm phân biệt nằm về 2 phía đường thẳng x=1 thì
$\begin{array}{l}
{x_1} < 1 < {x_2}\\
\Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right).\left( {{x_2} - 1} \right) < 0\\
\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\\
\Leftrightarrow - m - \left( {m - 1} \right) + 1 < 0\\
\Leftrightarrow - 2m + 2 < 0\\
\Leftrightarrow m > 1\\
Vậy\,m > 1
\end{array}$
