a, Ta có ME = MB = MC = BC/2 và ME vuông góc vs BC

=> ∆BEC là ∆ vuông cân tại E

=> $\widehat{CEB}$ = 90°

b,

 Tứ giác AHEM là hcn vì $\widehat{CAB}$ = $\widehat{AHE}$ = $\widehat{EKA}$ = 90°

=> $\widehat{HEK}$ = 90°

Tacó

$\widehat{HEB}$ + $\widehat{KEB}$ = $\widehat{HEK}$ = 90°

$\widehat{KEC}$ + $\widehat{KEB} =   $\widehat{CEB}$ = 90° 

=> $\widehat{HEB}$ = $\widehat{KEC}$

c, Xét ∆BHE vuông tại H và ∆CKE vuông tại K có

BE = CE

$\widehat{HEB}$ = $\widehat{KEC} $(cmt)

=> ∆BHE = ∆CKE (ch-gn)

=> HE = KE (2 canhh t/ứ)

Xét ∆AHE vuông tại H và ∆AKE vuông taii K có

AE : chung

HE = KE (cmt)

=> ∆AHE = ∆AKE (2cgv)

=> $\widehat{BAE}$ =$\widehat{CAE}$ 

=> AE là pg $\widehat{BAC}$

a,Có M là trung điểm của BC⇒BM=MC=1/2BC

Mà BM=ME(gt)⇒EM=BM=MC=1/2BC

Xét ΔBEC có:EM là đường trung tuyến của BC(M là trung điểm BC)

và EM=1/2BC(cmt)

⇒ΔBEC vuông tại E(định lí đảo đg trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền)

b,Có BEC=BEH+HEC=90(vì ΔBEC vuông tại E)

⇒BEH=BEC-HEC=90-HEC                   (1)

Xét tg AHEC có:H=A=K=90(EH⊥AB;A=90;EK⊥AC)

⇒AHEC là hình chữ nhật(tg có 3 góc vuông)

⇒HEK=90

⇒HEC+CEK=HEK=90

⇒CEK=HEK-HEC=90-HEC                (2)

Từ (1)(2)⇒BEH=CEK(đpcm)

c,Xét ΔBEC có EM là đường trung tuyến đồng thời là đg cao

⇒ΔBEC vuông cân tại E⇒EB=EC

Xét ΔBHE và ΔCKE có:

H=K=90(EH⊥AB;EK⊥AC)

EB=EC(cmt)

BEH=CEK(cmt)

⇒ΔBHE = ΔCKE(ch-gn)⇒EH=EK(2 cạnh tương ứng)

Hình chữ nhật AHEC có EH=EK(cmt)

⇒AHEC là hình vuông(hcn có 2 cạnh kề bằng nhau)

⇒AE là tia phân giác góc HAK(tính chất đg chéo)

⇒AE là tia phân giác góc BAC(đpcm)