Đáp án:
B
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$y = \dfrac{{ax + b}}{{{x^2} + 1}} \Leftrightarrow y{x^2} - ax + y - b = 0\left( 1 \right)$
Để hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
$ \Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm $y$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta = {\left( { - a} \right)^2} - 4y\left( {y - b} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow 4{y^2} - 4yb - {a^2} \le 0\\
\Leftrightarrow {\left( {2y - b} \right)^2} \le {a^2} + {b^2}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{b - \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2} \le y \le \dfrac{{b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2}
\end{array}$
Như vậy: Tập giá trị của hàm số là $\left[ {\dfrac{{b - \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2};\dfrac{{b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2}} \right]$
Để tập giá trị của hàm số chỉ có 6 số nguyên (bao gồm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất)
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{\left( {\dfrac{{b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2}} \right) - \left( {\dfrac{{b - \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2}} \right)}}{1} + 1 = 6\\
\dfrac{{b - \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2} \in Z
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\\
\dfrac{{b - \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2} \in Z
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 25\\
\dfrac{{b - 5}}{2} \in Z
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 25\\
b\not \vdots 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{b^2} = 1\\
{a^2} = 24\left( l \right)
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{b^2} = 9\\
{a^2} = 16\left( c \right)
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{b^2} = 25\\
{a^2} = 0
\end{array} \right.\left( l \right) ({do:y = \dfrac{b}{{{x^2} + 1}}}\text{hàm số không đạt được giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất}
\end{array} \right.
\end{array}$
Như vậy: ${{b^2} = 9;{a^2} = 16 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 34}$
