a) Chứng minh các điểm M,D,H,O cùng thuộc 1 đường tròn
Vì H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB ⇒ ∠OHM = 900 (5)
Lại có OD ⊥ MD (tính chất tiếp tuyến) ⇒ ∠ODM = 900 (6)
Từ (5) và (6) suy ra 4 điểm M, D, H, O cùng thuộc 1 đường tròn đường kính MO.
b) Đường thẳng OM cắt đường tròn (O; R) tại điểm I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD (1,5 điểm)
Vì là đường phân giác của CMD và COD
Do OM cắt (O; R) tại I nên I là trung điểm cung nhỏ CD (7)
Lại có
Từ (7) và (8) suy ra IC là đường phân giác của MCD
Tam giác MCD có I là giao điểm của hai đường phân giác trong nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt các tia MC, MD lần lượt tại E và F. Xác định hình dạng của tứ giác MCOD để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất khi M di động trên tia đối của tia BA. (1 điểm)
Vì CD // EF ( cùng vuông góc với OM) nên tam giác MCD đồng dạng với tam giác MEF. Mà ΔMCD cân tại M ⇒ ΔMEF cân tại M.
SΔMEF = 2SΔOMF = OD.MF
Mà OD = R (không đổi) nên SΔMEF nhỏ nhất khi MF nhỏ nhất.
Ta có MF= MD+DF>=2 căn MD.DF = 2OD = 2R.
Dấu đẳng thức xảy ra khi MD = DF ⇒ ΔMOF vuông cân tại O
Khi đó SΔMEF đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2R2
Khi đó tứ giác MCOD là hình vuông cạnh bằng R
