a) Tự chứng minh
b) Tứ giác CPMK có MPC = MKC = $90^{o}$ (gt).
Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp ⇒ MPK = MCK (1)
Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: MCK = MBC (cùng chắn MC) (2).
Từ (1),(2) ⇒ MPK = MBC (3)
c) Ta có BPMI là tứ giác nội tiếp ⇒ MIP =MBP (4)
Từ (3),(4) ⇒ MPK = MIP
Tương tự ta chứng minh được MKP = MPI ⇒ MPK ≈ ΔMBP ⇒ $\frac{MP}{MK}$ = $\frac{MI}{MP}$
⇒ MI . MK = $MP^{2}$ ⇒ MI . MK . MP = $MP^{3}$
Do đó MI . MK . MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất (4)
Gọi H là hình chiếu của O trên BC ⇒ OH là hằng số (do BC cố định)
Lại có: MP + OH ≤ OM = R ⇒ MP ≤ R - OH
Do đó MP lớn nhất bằng R - OH khi và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC (5).
Từ (4),(5) ⇒ max (MI . MK . MP) = ($R-OH)^{3}$ ⇔ M nằm chính giữa cung nhỏ BC
