Hình vẽ (Hình dưới)

a, Xét (O) có:

+AP là tiếp tuyến, P là tiếp điểm (gt) ⇒ OP⊥AP ⇒ $\widehat{OPA}=90°$

+AQ là tiếp tuyến, Q là tiếp điểm (gt) ⇒ OQ⊥AQ ⇒ $\widehat{OQA}=90°$

Xét tứ giác APOQ có: $\widehat{OPA}+\widehat{OQA}=90°+90°=180°$

mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AO

b, Có PM//AQ (gt) ⇒ $\widehat{AMP}=\widehat{NAK}$ (hai góc so le trong)

Xét (O) có: $\widehat{APN}=\widehat{PMN}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung PN) Hay $\widehat{APN}=\widehat{AMP}$

⇒ $\widehat{APN}=\widehat{NAK}$

Xét ΔAKN và ΔPKA có:

$\widehat{AKP}$: góc chung

$\widehat{APN}=\widehat{NAK}$ (cmt)

⇒ ΔAKN~ΔPKA (g.g)

⇒ $\frac{AK}{KP}=\frac{KN}{AK}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AK²=KN.KP

c, OQ⊥AQ (cmt) ⇒ QS⊥AQ 

Mà PM//AQ 

⇒ QS⊥PM

Xét (O) có:

PM là dây không đi qua tâm

QS là đường kính

QS⊥PM (cmt)

⇒ QS đi qua điểm chính giữa $\overparen{PM}$

⇒ S là điểm chính giữa $\overparen{PM}$

⇒ $\overparen{PS}=\overparen{SM}$

Xét (O) có:

$\widehat{PNS}=\frac{1}{2}sđ\overparen{PS}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{PS}$)

$\widehat{SNM}=\frac{1}{2}sđ\overparen{SM}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{SM}$)

$\overparen{PS}=\overparen{SM}$ (cmt)

⇒ $\widehat{PNS}=\widehat{SNM}$

⇒ NS là phân giác $\widehat{PNM}$

d, Gọi giao điểm của AO và PQ là I 

Xét (O) có: AP, AQ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A, P,Q là hai tiếp điểm

⇒ AP=AQ ⇒ A thuộc đường trung trực của PQ

Xét (O) có OP=OQ=R ⇒ O thuộc đường trung trực của PQ

⇒ AO là đường trung trực của PQ 

Mà giao điểm của AO và PQ là I (cmt)

⇒ I là trung điểm của PQ, AO⊥PQ tại I

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔAQO vuông tại Q ($\widehat{OQA}=90°$), QI⊥AO (AO⊥PQ tại I) có: OQ²=OI.OA

⇒ $OI=\frac{OQ^{2}}{OA}=\frac{R^{2}}{3R}=\frac{1}{3}R$ 

Có $AI=OA-OI=3R-\frac{1}{3}R=\frac{8}{3}R$

Xét (O) có: 

$\widehat{AQN}=\widehat{QPN}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{QN}$

Hay $\widehat{KQN}=\widehat{KPQ}$

Xét ΔKNQ và ΔKQP có:

$\widehat{KQN}=\widehat{KPQ}$ (cmt)

$\widehat{PKQ}$ : góc chung

⇒ ΔKNQ~ΔKQP (g.g)

⇒ $\frac{KN}{KQ}=\frac{KQ}{KP}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ KQ²=KN.KP

Mà KA²=KN.KP

⇒ KQ=KA

⇒ K là trung điểm của QA

Xét ΔAPQ có

AI là trung tuyến (I là trung điểm của PQ)

PK là trung tuyến (K là trung điểm của QA)

AI cắt PK tại G 

⇒ G là trọng tâm của ΔAPQ

⇒ $AG=\frac{2}{3}.AI=\frac{2}{3}.\frac{8}{3}R=\frac{16}{9}R$

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AP, AQ$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{APO}=\widehat{AQO}=90^o$

$\to APOQ$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b.Xét $\Delta KAN,\Delta KAP$ có:

Chung $\hat K$

$\widehat{KAN}=\widehat{NMP}=\widehat{APK}$ vì $AP$ là tiếp tuyến của $(O)$ và $PM//AQ$

$\to\Delta KAN\sim\Delta KPA(g.g)$

$\to \dfrac{KA}{KP}=\dfrac{KN}{KA}$

$\to KA^2=KN.KP$

c.Ta có $PM//AQ$

$\to \widehat{QPM}=\widehat{AQP}=\widehat{PMQ}$

$\to \Delta QPM$ cân tại $Q$

$\to QP=QM$

Mà $OP=OM$

$\to QO$ là trung trực $PM$

$\to QO\perp PM$

$\to SO\perp PM$

$\to S$ nằm giữa cung $PM$

$\to NS$ là phân giác $\widehat{PNM}$

d.Gọi $AO\cap PQ=H\to H$ là trung điểm $PQ$ vì $AP, AQ$ là tiếp tuyến của $(O)$

Xét $\Delta KNQ, \Delta KQP$ có:

Chung $\hat K$

$\widehat{KQN}=\widehat{KPQ}$ vì $KQ$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta KNQ\sim\Delta KQP(g.g)$

$\to \dfrac{KN}{KQ}=\dfrac{KQ}{KP}$

$\to KQ^2=KN.KP=KA^2$

$\to KQ=KA\to K$ là trung điểm $AQ$

Mà $AH\cap PK=G$

$\to G$ là trọng tâm $\Delta APQ\to AG=\dfrac23AH$

Ta có $\Delta APO$ vuông tại $P, PH\perp AO$

$\to OP^2=OH.OA$

$\to OH=\dfrac{OP^2}{OA}=\dfrac13R$

$\to AH=AO-OH=\dfrac83R$

$\to AG=\dfrac23AH=\dfrac{16}{9}R$