a) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta CND$ ta có:
$BM=DN(=\dfrac{1}{3}BD)$
$\widehat{ABM}=\widehat{CDN}$ (so le trong)
$AB=CD$
$\Rightarrow $ $\Delta AMB=\Delta CND$
b) $\Delta AMB=\Delta CND$
$\Rightarrow AM=NC$ (1)
Tương tự xét $\Delta BMC$ và $\Delta DNA$ ta có:
$BM=DN(=\dfrac{1}{3}BD)$
$\widehat{MBC}=\widehat{NDA}$ (so le trong)
$BC=DA$
$\Rightarrow $ $\Delta BMC=\Delta DNA$
$\Rightarrow MC=NA$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AMCN$ là hifnhbifnh hành.
c) $\Delta ABC$ có $O$ là trung điểm $AC$
$\Rightarrow BO$ là đường trung tuyến
Mà $BM=\dfrac{1}{3}BD$
$BO=\dfrac{1}{2}BD$
$\Rightarrow \dfrac{BM}{BO}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow M$ là trọng tâm $\Delta ABC$
$\Rightarrow AM$ là trung tuyến
$\Rightarrow I$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow \dfrac{AM}{AI}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{AM}{AI-AM}=\dfrac{2}{3-2}$
$\Rightarrow \dfrac{AM}{MI}=2$
$\Rightarrow AM=2MI$
d) Chứng minh tương tự $\Delta ACD$ có $N$ là trọng tâm
$\Rightarrow K$ là trung điểm của $AD$
Suy ra $AK\parallel=CI(\parallel=\dfrac{1}{2}AD)$
$\Rightarrow AICK$ là hình bình hành
$\Rightarrow $ 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$O$ là trung điểm $AC$
$\Rightarrow O$ là trung điểm của $KI$
$\Rightarrow I$ và $K$ đối xứng với nhau qua $O$
