Đáp án:
Phương trình vô nghiệm
Giải thích các bước giải:
$\sqrt{\dfrac{x^2 + x +1}{x}}+\sqrt{\dfrac{x}{x^2 + x+1}}=\dfrac{7}{4}\quad (*)$
Ta có:
$x^2 + x + 1 = \left(x +\dfrac12\right)^2 + \dfrac34 > 0\quad \forall x$
Do đó:
$+)\quad \dfrac{x^2 + x +1}{x} \geq 0\Leftrightarrow x > 0$
$+)\quad \dfrac{x}{x^2 + x + 1} \geq 0\Leftrightarrow x \geq 0$
Nên $(*)$ xác định $\Leftrightarrow x > 0$
Với $x > 0$ ta được:
$(*)\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} +\dfrac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{\sqrt x} =\dfrac74$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$VT \geq 2\sqrt{\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x^2 + x + 1}}\cdot\dfrac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{\sqrt x}} = 2$
$VP =\dfrac74 < 2$
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm
