Ta có pt (1): \[{x^2} - (m + 1)x + 2m - 2 = 0\]

\[\begin{array}{l}
\Delta  = {(m + 1)^2} - 4.(2m - 2)\\
 = {m^2} + 2m + 1 - 8m + 8\\
 = {m^2} - 6m + 9\\
 = {(m - 3)^2} \ge 0,\forall m
\end{array}\]

Vậy pt (1) luôn có nghiệm với mọi m

Câu b

Theo vi-ét ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = m + 1}\\
{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 2m - 2}
\end{array}} \right.\]

Ta có: \[\begin{array}{l}
C = \frac{2}{{{x_1}}} + \frac{2}{{{x_2}}} - 3\\
 = \frac{{2({x_1} + {x_2})}}{{{x_1}{x_2}}} - 3
\end{array}\]

Thay vào ta được:

\[\begin{array}{l}
C = \frac{{2(m + 1)}}{{2m - 2}} - 3\\
 = \frac{{m + 1}}{{m - 1}} - 3\\
 = \frac{{m + 1 - 3m + 3}}{{m - 1}}\\
 = \frac{{ - 2m + 4}}{{m - 1}}\\
 = \frac{{ - 2m + 2 + 2}}{{m - 1}}\\
 = \frac{{ - 2\left( {m - 1} \right) + 2}}{{m - 1}}\\
 =  - 2 + \frac{2}{{m - 1}}
\end{array}\]

Ta thấy để C nguyên và m nguyên thì m thuộc ước của 2

\[\begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right) \in U(2) = \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\}\\
m - 1 =  - 2 \Rightarrow m =  - 1\\
m - 1 =  - 1 \Rightarrow m = 0\\
m - 1 = 1 \Rightarrow m = 2\\
m - 1 = 2 \Rightarrow m = 3
\end{array}\]

$x^2-(m+1)x+2m-2=0(1)$

$a,Có : a=1;b=-(m+1);c=2m-2$

$Δ=[-(m+1)]^2-4.1.(2m-2)=m^2+2m+1-8m+8=m^2-6m+9=(m-3)^2$

vì $(m-3)^2≥0$ với mọi m

$⇒Δ≥0$ với mọi m

⇒pt (1) luôn có nghiệm với mọi m

b,Vì pt (1) luôn có nghiệm với mọi m (theo a)

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét :

$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m+1 & \\  x_1x_2=2m-2 &  \end{matrix}\right.$

$Ta\ có : \\C=\dfrac{2}{x_1}+\dfrac{2}{x_2}-3 \\=\dfrac{2x_2+2x_1-3x_1x_2}{x_1x_2} \\=\dfrac{2(x_1+x_2)-3x_1x_2}{x_1x_2} \\=\dfrac{2(m+1)-3(2m-2)}{2m-2} \\=\dfrac{2m+2-6m+6}{2m-2} \\=\dfrac{-4m+8}{2m-2} \\=\dfrac{-(4m-4)+4}{2m-2} \\=-2+\dfrac{4}{2m-2}$

Với $m∈Z$ ; để $C ∈ Z$ thì 4 $\vdots 2m-2$

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{2m-2}&\text{1}&\text{-1}&\text{2}&\text{-2}&\text{4}&\text{-4}\\\hline \text{m}&\text{1,5}&\text{0,5}&\text{2}&\text{0}&\text{3}&\text{-1}\\\hline \text{}&\text{KTMĐK}&\text{KTMĐK}&\text{TMĐK}&\text{TMĐK}&\text{TMĐK}&\text{TMĐK}\\\hline\end{array}$

Vậy $m∈\{-1;3;0;2\}$ thì C nguyên