b) Vì OA là đường trung trực của BC (cmt)
mà OA ∩ BC = {H} (gt)
nên OA ⊥ BC tại H và H là trung điểm của BC (T/c)
⇒ HB = HC
Vì AB là tiếp tuyến đường tròn (O) (gt)
⇒ OA ⊥ AB (T/c)
⇒ ΔAOB vuông tại B, có đường cao BH (OA ⊥ BC tại H)
⇒ $HB^2 = HA. OA$ (Hệ thức lượng trong Δv)
Mà $HB =HC$ (cmt)
⇒ $HA . OA = HB.HC$
c) Nối B với I
ΔABO vuông tại B (cmt) ⇒ $\widehat{BAO} + \widehat{BOA} = 90^o$
ΔBHO vuông tại H (OA ⊥ BC tại H) ⇒ $\widehat{HBO} + \widehat{BOA} = 90^o$
Do đó: $\widehat{BAO} = \widehat{HBO}^{(1)}$ (Cùng phụ với $\widehat{BOA}$)
Ta có: OB = OI (=bk) ⇒ ΔBIO vuông tại O (đ/n)
⇒ $\widehat{OBI} = \widehat{OIB}$ (T/c)
Mặt khác: $\widehat{BIO}$ là góc ngoài tại đỉnh I của ΔABI (gt)
⇒ $\widehat{BAI} + \widehat{ABI} = \widehat{BIO}$
$\widehat{BIH} + \widehat{BHO} = \widehat{OBI}$
Do đó: $\widehat{BAI} + \widehat{ABI} = widehat{BIH} + \widehat{BHO}^{(2)}$
Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{ABI} = \widehat{BIH}$
⇒ BI là phân giác của $\widehat{ABC}$
hay BI là phân giác của ΔABC (3)
OA là đường trung trực của BC (cmt) ⇒ BA = CA (T/c)
⇒ ΔABC cân tại A (đ/n) ⇒ OA đồng thời là đường phân giác của ΔABC (T/c)
hay AI là đường phân giác của ΔABC (4) (Vì I ∈ OA)
Từ (3) và (4) ⇒ I là giao điểm 3 đường phân giác của ΔABC (dhnb)
⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC (dhnb)
