Đáp án:
Giải thích các bước giải: Phương pháp đánh giá
ĐKXĐ $: x > - 2; y > 1$
Để cho gọn đặt $: u = > 0; v = \sqrt{y - 1} > 0$
$ ⇒ x + y = u² + v² - 1 = (u + v)² - 2uv - 1$
Phương trình thứ nhất tương đương:
$\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{(u + v)² - 2uv - 1}$
$ ⇔ (u + v)[(u + v)² - 2uv - 1] = 2uv$
$ ⇔ (u + v)[(u + v)² - 1] - 2uv(u + v + 1) = 0$
$ ⇔ (u + v)(u + v - 1) - 2uv = 0$
$ ⇔ u² + v² = u + v (*)$
$ ⇔ x + y + 1 = \sqrt{x + 2} + \sqrt{y - 1}$
$ ⇔ (x + y + 1)² = (\sqrt{x + 2} + \sqrt{y - 1})² ≤ 2[(x + 2) + (y - 1)] = 2(x + y + 1)$
$ ⇔ x + y + 1 ≤ 2 ⇔ 0 < x + y ≤ 1$
$ ⇔ (x + 1) + (y - 2) ≤ 0 (1)$
Phương trình thứ hai tương đương:
$ 2xy - 4x + 2y = 5 - (x + y)² ≥ 4$
$ ⇔ xy - 2x + y - 2 ≥ 0$
$ ⇔ (x + 1)(y - 2) ≥ 0(2)$
$ (1); (2) ⇒ x + 1 ≤ 0; y - 2 ≤ 0 $
$ ⇔ x + 2 ≤ 1; y - 1 ≤ 1 ⇔ u² ≤ 1; v² ≤ 1$
$ ⇒ u² ≤ u; v² ≤ v ⇒ u² + v² ≤ u + v(**)$
Từ $(*); (**) ⇒ u = v = 1 ⇒ x = - 1; y = 2$
vậy HPT có nghiệm duy nhất $(x; y) = (- 1; 2)$
