Giải thích các bước giải:
a, AHKI là hình vuông ⇒ AH = AI
Xét 2 tam giác vuông ΔAIF và ΔAHB có:
AI = AH; $\widehat{IAF} = \widehat{HAB}$ (cùng phụ với $\widehat{BAI}$)
⇒ ΔAIF = ΔAHB (cạnh góc vuông - góc nhọn)
⇒ AF = AB
BE ║ AC ⇒ BE ⊥ AB
EF ║ AB ⇒ EF ⊥ AF
Tứ giác ABEF có 3 góc vuông ($\widehat{F}$, $\widehat{B}$, $\widehat{A}$) nên là hình chữ nhật
Mà AF = AB (cmt) ⇒ ABEF là hình vuông (đpcm)
b, Qua E kẻ đường thẳng song song với AH, qua F kẻ đường thẳng song song với BC, gọi G là giao 2 đường thẳng này.
EG ║ AH, EF ║ AB ⇒ $\widehat{GEF}$ = $\widehat{HAB}$
EG ║ AH, FG ║ BH, AH ⊥ BH ⇒ EG ⊥ FG
Xét 2 tam giác vuông ΔEGF và ΔAHB có:
$\widehat{GEF}$ = $\widehat{HAB}$; EF = AB
⇒ ΔEGF = ΔAHB (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ EG = AH mà EG ║ AH
⇒ Tứ giác EGAH là hình bình hành
Gọi D là giao của 2 đường chéo HG, AE thì D là trung điểm mỗi đường
Dễ dàng chứng minh được G, I, D thẳng hàng
⇒ H, I, D thẳng hàng
ABEF là hình chữ nhật mà D là trung điểm của AE
⇒ D cũng là trung điểm của BF
Vậy BF, AE, HI đồng quy tại D (đpcm)
c, Ta có: EG ║ AH, IK ║ AH ⇒ EG ║ IK
EG = AH, AH = IK ⇒ EG = IK
⇒ Tứ giác EGIK là hình bình hành
⇒ EK ║ IG hay EK ║ HI (đpcm)
