Giải thích các bước giải:
Gọi $AD,BE,CF$ là ba đường cao tương ứng với 3 cạnh $BC,AC,AB$
a) Ta có:
$\widehat {AKC} = \widehat {AMC}$ (Do $M,K$ đối xứng với nhau qua $AC$)
$\widehat {AMC} = \widehat {ABC}$ (Hai góc nội tiếp chắn cung $AC)
$ \Rightarrow \widehat {AKC} = \widehat {ABC}$
b) Ta có:
$\widehat {BDH} + \widehat {BFH} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$
$\to $ Tứ giác $BDHF$ nội tiếp.
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {DHC} = \widehat {FBD}\\
\Rightarrow \widehat {DHC} = \widehat {ABC}\\
\Rightarrow \widehat {DHC} = \widehat {AKC}
\end{array}$
$\to $ Tứ giác $AHCK$ nội tiếp.
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {CHK} = \widehat {KAC}\\
\Rightarrow \widehat {CHK} = \widehat {MAC}(1)
\end{array}$
Chứng minh tương tự ta có:
Tứ giác $AHBI$ nội tiếp
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {IAB} = \widehat {IHB}\\
\Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {IHB}(2)
\end{array}$
Từ $(1),(2)$ ta có:
$ \widehat {IHB} + \widehat {CHK} = \widehat {MAB} + \widehat {MAC} = \widehat {BAC}\left( * \right)$
Lại có:
$\widehat {AFH} + \widehat {AEH} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$
$\to $ Tứ giác $AEHF$ nội tiếp
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {EAF} + \widehat {EHF} = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BHC} = {180^0}\left( {**} \right)
\end{array}$
Từ $(*),(**)$ ta có: $\widehat {IHB} + \widehat {BHC} + \widehat {CHK} = {180^0} \Rightarrow \widehat {IHK} = {180^0}$
$\to I,H,K$ thẳng hàng.
