Đáp án:
1) $x+\sqrt{x-2}=2\sqrt{x-1}$ có nghiệm x=2
2) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$ có nghiệm $x=2+\sqrt2$
3) $x^2 - 1 = \sqrt{x+1}$ có nghiệm $x = -1$ và $x = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
4) $x^2+4x+5=2\sqrt{2x+3}$ có nghiệm $x=-1$
Lời giải:
1) $x+\sqrt{x-2}=2\sqrt{x-1}$
Đk: $x\ge 2$
Do 2 vế của phương trình đã có đều lớn hơn 0, bình phương hai vế phương trình tương đương:
$x^2+2\sqrt{x-2}+x-2=4(x-1)$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x-2}=-x^2+3x-2$
$VT\ge0$ $\forall x\ge2$
$VP=-(x-1)(x-2)$
Ta có bảng xét dấu như hình vẽ, từ đó suy ra $VP\le0$ $\forall x\ge2$
Từ đó suy ra $VT=VP=0\Rightarrow x=2$
Vậy phương trình có nghiệm x=2
2) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$ Đk: $x\ge\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow x^2=2x-1+2\sqrt{2x-1}+1$
$\Leftrightarrow x^2=(\sqrt{2x-1}+1)^2$
$\Rightarrow $ hoặc $x=-(\sqrt{2x-1}+1)$ (loại) do $VT\ge\dfrac{1}{2}$, $VP<0$
Hoặc $x=\sqrt{2x-1}+1\Leftrightarrow x-1=\sqrt{2x-1}$ $(x\ge1)$
$\Rightarrow x^2-2x+1=2x-1$
$\Leftrightarrow x^2-4x+2=0$
$\Leftrightarrow x=2+\sqrt2$ (tm) hoặc $x=2-\sqrt 2<1$ (loại)
Vậy phương trình có nghiệm $x=2+\sqrt2$
3) Xét phương trình: $x^2 - 1 = \sqrt{x+1}$
ĐK: $x \geq -1$ và $-1 \leq x$ hoặc $x \geq 1$.
Phương trình tương đương với
$(x-1)(x+1) = \sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}[(x-1) \sqrt{x+1} -1] = 0$
$\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $(x-1)\sqrt{x+1} = 1$
Xét phương trình $(x-1)\sqrt{x+1} = 1$, bình phương 2 vế ta suy ra:
$(x^2 - 2x + 1) (x+1) = 1$
$\Leftrightarrow x^3 -x^2 -x = 0$
$\Leftrightarrow x(x^2 - x -1) = 0$
$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x^2 - x -1 = 0$
$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Ta thấy $x=0$ và $x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} >1$ nên ko thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = -1$ hoặc $x = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
4) $x^2+4x+5=2\sqrt{2x+3}$
Đk: $2x+3\ge0\Leftrightarrow x\ge\dfrac{-3}{2}$
Bình phương 2 vế phương trình đã cho ta suy ra:
$x^4+16x^2+25+4x^3+10x^2+40x=4(2x+4)$
$\Leftrightarrow x^4+4x^3+26x^2+32x+13=0$
$\Leftrightarrow (x+1)^2(x^2+6x+13)=0$
$\Leftrightarrow x=-1$ (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm $x=-1$
