Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:
Tìm điều kiện xác định của phương trình, giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Giải chi tiết:Điều kiện: \(x + 2 > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow x >  - 2.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - 4x + 8 + x + 2}}{{x + 2}} = 3\sqrt {\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x + 2}}} \\ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) + x + 2}}{{x + 2}} = 3\sqrt {\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x + 2}}} \\ \Leftrightarrow 2.\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x + 2}} + 1 = 3\sqrt {\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x + 2}}} \,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)
Đặt \(\sqrt {\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x + 2}}}  = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow 2{t^2} + 1 = 3t\\ \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t - 1 = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x + 2}}}  = \frac{1}{2}\\\sqrt {\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x + 2}}}  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{1}{4}\\\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x + 2}} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4{x^2} - 8x + 16 = x + 2\\{x^2} - 2x + 4 = x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4{x^2} - 9x + 14 = 0\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}VN\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {1;2} \right\}.\)
Chọn A.