Đáp án:
$x = 3$
Giải thích các bước giải:
$\sqrt[3]{x -2} +\sqrt{x +1} = 3\qquad (x \geq -1)$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x -2} - 1 +\sqrt{x +1} - 2 = 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{(\sqrt[3]{x -2} - 1)(\sqrt[3]{(x -2)^2} + \sqrt[3]{x -2} + 1)}{\sqrt[3]{(x -2)^2} + \sqrt[3]{x -2} + 1} + \dfrac{(\sqrt{x +1} - 2)(\sqrt{x + 1} + 2)}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{x -3}{\sqrt[3]{(x -2)^2} + \sqrt[3]{x -2} + 1} + \dfrac{x -3}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0$
$\Leftrightarrow (x -3)\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x -2)^2} + \sqrt[3]{x -2} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + 2}\right)= 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x - 3 = 0\\\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x -2)^2} + \sqrt[3]{x -2} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0\quad (*)\end{array}\right.$
Dễ dàng nhận thấy:
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x -2)^2} + \sqrt[3]{x -2} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + 2}$
$= \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{x -2} + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac 34} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + 2} > 0,\,\forall x \geq -1$
Do đó $(*)$ vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3$
