Đáp án:
$x=-\arccos\dfrac35+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$
và $ x=-\arccos\dfrac35\pm\arccos\dfrac45+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$
Lời giải:
$(3\cos x-4\sin x-6)^2+2=-3(3\cos x-4\sin x-6)$
Đặt $3\cos x-4\sin x-6=t$
Phương trình tương đường:
$t^2+2=-3t$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}t=-1\\t=-2\end{array}\right.$
Với $t=-1$ ta có:
$3\cos x-4\sin x-6=-1$
$\Leftrightarrow3\cos x-4\sin x=5$
$\Leftrightarrow\dfrac35\cos x-\dfrac45\sin x=1$
Đặt $\dfrac35=\cos\alpha\Rightarrow\dfrac45=\sin\alpha$ (vì $(\dfrac35)^2+(\dfrac45)^2=1$)
$\Leftrightarrow \cos\alpha\cos x-\sin\alpha\sin x=1$
$\Leftrightarrow \cos(x+\alpha)=1$
$\Leftrightarrow x+\alpha=k2\pi$
$\Leftrightarrow x=-\alpha+k2\pi$
$\Leftrightarrow x=-\arccos\dfrac35+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$
Với $t=-2$ ta có:
$3\cos x-4\sin x-6=-2$
$\Leftrightarrow3\cos x-4\sin x=4$
$\Leftrightarrow\dfrac35\cos x-\dfrac45\sin x=\dfrac45$
Đặt $\begin{cases}\cos\phi=\dfrac35\\\sin\phi=\dfrac45\end{cases}$
Ta có:
$\cos(x+\phi)=\dfrac45$
$\Leftrightarrow x+\phi=\pm\arccos\dfrac45+k2\pi$
$\Leftrightarrow x=-\phi\pm\arccos\dfrac45+k2\pi$
$\Leftrightarrow x=-\arccos\dfrac35\pm\arccos\dfrac45+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$
