Đáp án:
a) \(S = \left\{ { - 1} \right\}\).
b) \(S = \left\{ {2; - 1} \right\}\).
Giải thích các bước giải:
a) \(\left( {x + 1} \right)\sqrt {2{x^2} + 1} = {x^2} - 1\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt {2{x^2} + 1} = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} - x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\\sqrt {2{x^2} + 1} = x - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} + 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} + 2x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = - 1\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1} \right\}\).
b) \(\sqrt {3 + x} + \sqrt {2 - x} - \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {2 - x} \right)} = 1\)
(ĐK: \( - 3 \le x \le 2\))
Đặt \(t = \sqrt {3 + x} + \sqrt {2 - x} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có:
\({t^2} = 3 + x + 2 - x + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {2 - x} \right)} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {2 - x} \right)} = \dfrac{{{t^2} - 5}}{2}\)
Thay vào phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}t - \dfrac{{{t^2} - 5}}{2} = 1 \Leftrightarrow 2t - {t^2} + 5 = 2\\ \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(t = 3\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {3 + x} + \sqrt {2 - x} = 3\\ \Leftrightarrow 3 + x + 2 - x + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {2 - x} \right)} = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {2 - x} \right)} = 2\\ \Leftrightarrow \left( {3 + x} \right)\left( {2 - x} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 6 + x - {x^2} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2; - 1} \right\}\).
