$x^{2}-6xy+10y^{2}+2y+1=0$
⇔$x^{2}-6xy+9y^{2}+y^{2}+2y+1=0$
⇔$(x-3y)^{2}+(y+1)^{2}=0$
⇔$\left \{ {{x-3y=0} \atop {y+1=0}} \right.$
⇔$\left \{ {{x-3.(-1)=0} \atop {y=-1}} \right.$
⇔$\left \{ {{x=-3} \atop {y=-1}} \right.$
Vậy pt có nghiệm $x=-3$ và $y=-1$