Đáp án:
- Nếu b = c thì PT có 2 nghiệm:
x = - (a + b + c); x = b - a
- Nếu b # c thì PT có nghiệm duy nhất:
x = - (a + b + c)
Giải thích các bước giải:
x³ + 3ax² - 3(bc - a²)x = 3abc - a³ - b³ - c³
⇔ (x³ + 3ax² + 3a²x + a³) - 3bcx - 3abc + b³ + c³ = 0
⇔ (x + a)³ - 3bc(x + a) + (b + c)³ - 3bc(b + c) = 0
⇔ (x + a)³ + (b + c)³ - 3bc(x + a + b + c) = 0
⇔ (x + a + b + c)[(x + a)² - (x + a)(b + c) + (b + c)²] - 3bc(x + a + b + c) = 0
⇔ (x + a + b + c)[(x + a)² - (x + a)(b + c) + (b + c)² - 3bc] = 0
⇔ (x + a + b + c)[x² + (2a - b - c)x + (a² + b² + c²) - (ab + bc + ca)] = 0
⇔
{ x + a + b + c = 0 (1)
{ x² + (2a - b - c)x + (a² + b² + c²) - (ab + bc + ca) = 0 (2)
Giải (1) : x = - (a + b + c)
Giải (2) : Δ = (2a - b - c)² - 4(a² + b² + c²) + 4(ab + bc + ca)
= 4a² + b² + c² - 4ab + 2bc - 4ca - 4a² - 4b² - 4c² + 4ab + 4bc + 4ca
= 6bc - 3b² - 3c² = - 3(b - c)² ≤ 0
Nếu b # c ⇒ Δ < 0 ⇒ (2) vô nghiệm
Nếu b = c ⇒ Δ = 0 ⇒ (2) có nghiệm kép : x = b - a
