Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\\ \Rightarrow \frac{1}{z} = 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{y}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{z^2}}} = 4 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} - \frac{4}{y} - \frac{4}{x} + \frac{2}{{xy}} \end{array}$
$ \Rightarrow \frac{2}{{xy}} - \frac{1}{{{z^2}}} = - (4 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} - \frac{4}{y} - \frac{4}{x})$
Khi đó:
$4 = - (4 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} - \frac{4}{y} - \frac{4}{x})$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} - \frac{4}{y} - \frac{4}{x} = 0\\ \Leftrightarrow {(\frac{1}{x} - 2)^2} + {(\frac{1}{y} - 2)^2} = 0 \end{array}$
Vì ${(\frac{1}{x} - 2)^2} \ge 0\forall x,{(\frac{1}{y} - 2)^2} \ge 0\forall y$
=> ${(\frac{1}{x} - 2)^2} + {(\frac{1}{y} - 2)^2} \ge 0\forall x,y$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=$\frac{1}{2}$
Khi đó: z=-$\frac{1}{2}$
