Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1) ĐKXĐ :

$ 2x² + 10x + 8 ≥ 0 ⇔ 2(x + 1)(x + 4) ≥ 0 ⇔ x ≤ - 4; x ≥ - 1$

$ x² - 1 ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x - 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ - 1; x ≥ 1$

Mặt khác $ VT = \sqrt[]{2x² + 10x + 8 } + \sqrt[]{x² - 1} ≥ 0$

$ ⇒ VP = 2x + 2 = 2(x + 1) ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1$

Kết hợp lại $: x = - 1; x ≥ 1 (*)$

Vì $: 2(x + 1) ≥ 0 ⇔ 2(x + 1) = 2\sqrt[]{(x + 1)²}$

$PT ⇔ \sqrt[]{2(x + 1)(x + 4)} + \sqrt[]{(x + 1)(x - 1)} - 2\sqrt[]{(x + 1)²} = 0$ 

$ ⇔ \sqrt[]{x + 1}[\sqrt[]{2(x + 4)} + \sqrt[]{x - 1} - 2\sqrt[]{x + 1}] = 0$ 

@ $ \sqrt[]{x + 1} = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = - 1(TM(*))$

@ $ \sqrt[]{2(x + 4)} + \sqrt[]{x - 1} - 2\sqrt[]{x + 1} = 0$ 

$ ⇔ \sqrt[]{2(x + 4)} + \sqrt[]{x - 1} = 2\sqrt[]{x + 1}$

$ ⇔ 2(x + 4) + (x - 1) + 2\sqrt[]{2(x + 4)}.\sqrt[]{x - 1} = 4(x + 1)$

$ ⇔ 2\sqrt[]{2(x + 4)}.\sqrt[]{x - 1} = x - 3$

$ ⇔ 8(x + 4)(x - 1) = (x - 3)² $ Với $(x ≥ 3)$

$ ⇔ 7x² + 30x - 41 = 0 ⇒ x = \dfrac{- 15 ± 16\sqrt[]{2}}{7} < 3$ (loại)

KL : $PT$ có nghiệm duy nhất $x = - 1$

2) $ PT ⇔ \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x + 3} + \sqrt[3]{x + 2} = 0$ 

$ ⇔ \dfrac{(\sqrt[3]{x + 1})³ + (\sqrt[3]{x + 3})³ }{(\sqrt[3]{x + 1})² - \sqrt[3]{x + 3}.\sqrt[3]{x + 2} + (\sqrt[3]{x + 2})²} + \sqrt[3]{x + 2} = 0$ 

$ ⇔ \dfrac{2(x + 2)}{(\sqrt[3]{x + 1})² - \sqrt[3]{x + 3}.\sqrt[3]{x + 2} + (\sqrt[3]{x + 2})²} + \sqrt[3]{x + 2} = 0$ 

$ ⇔ \sqrt[3]{x + 2}[\dfrac{2\sqrt[3]{(x + 2)²}}{(\sqrt[3]{x + 1})² - \sqrt[3]{x + 3}.\sqrt[3]{x + 2} + (\sqrt[3]{x + 2})²} + 1] = 0$

$ ⇔ \sqrt[3]{x + 2} = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = - 2 $ là nghiệm duy nhất.

3) ĐKXĐ $: x ≥ 0$

$ PT ⇔ \sqrt[]{x + 3} - \sqrt[]{2x + 2} + \sqrt[]{3x + 1} - 2\sqrt[]{x} = 0$ 

$ ⇔ \dfrac{(\sqrt[]{x + 3})² - (\sqrt[]{2x + 2})²}{\sqrt[]{x + 3} + \sqrt[]{2x + 2}} + \dfrac{(\sqrt[]{3x + 1})² - (2\sqrt[]{x})²}{\sqrt[]{3x + 1} + 2\sqrt[]{x}}  = 0$ 

$ ⇔ \dfrac{1 - x}{\sqrt[]{x + 3} + \sqrt[]{2x + 2}} + \dfrac{1 - x}{\sqrt[]{3x + 1} + 2\sqrt[]{x}}  = 0$

$ ⇔ (1 - x)(\dfrac{1}{\sqrt[]{x + 3} + \sqrt[]{2x + 2}} + \dfrac{1}{\sqrt[]{3x + 1} + 2\sqrt[]{x}})  = 0$ 

$ ⇔ 1 - x = 0 ⇔ x = 1$là nghiệm duy nhất.