Đáp án:
`(x;y)\in {(1;0);(-1;0)}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^4-y^4=3y^2+1`
`<=>x^4=y^4+3y^2+1` $(1)$
Ta có: `y^2\ge 0` với mọi `y`
`=>3y^2\ge 2y^2`
`=>y^4+3y^2+1\ge y^4+2y^2+1=(y^2+1)^2` $(2)$
$\\$
`\qquad 3y^2\le 4y^2; 1<4`
`=>3y^2+1<4y^2+4`
`=>y^4+3y^2+1<y^4+4y^2+4=(y^2+2)^2` $(3)$
$\\$
Từ `(1);(2);(3)`
`=>(y^2+1)^2\le (x^2)^2 \le (y^2+2)^2`
Vì `y\in ZZ=>(y^2+1)^2; (y^2+2)^2` là bình phương hai số nguyên liên tiếp
`=>(x^2)^2=(y^2+1)^2`
`=>x^2=y^2+1` (vì `x^2\ge 0;y^2+1\ge 1>0` với mọi `x;y\in ZZ`)
`=>x^2-y^2=1`
`=>(x-y)(x+y)=1`
Vì `x;y\in ZZ` nên ta có:
+) $TH1: \begin{cases}x-y=1\\x+y=1\end{cases}$`<=>`$ \begin{cases}2x=2\\y=1-x\end{cases}$
`<=>`$ \begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}$(thỏa mãn)
$\\$
+) $TH2: \begin{cases}x-y=-1\\x+y=-1\end{cases}$`<=>`$ \begin{cases}2x=-2\\y=-1-x\end{cases}$
`<=>`$ \begin{cases}x=-1\\y=0\end{cases}$(thỏa mãn)
Vậy cặp số nguyên `(x;y)\in {(1;0);(-1;0)}` thỏa mãn đề bài
