Đáp án đúng:
Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}{y^2} + 2y = 4{x^2}y + 8x + 7\\ \Leftrightarrow {y^2} + 2y\left( {1 - 2{x^2}} \right) - 8x - 7 = 0\end{array}\)
Coi đây là phương trình bậc hai ẩn $y$, $x$ là tham số
Ta có $\Delta '={{\left( 1-2{{x}^{2}} \right)}^{2}}+8x+7=4{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+8x+8=4\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2x+2 \right)$
Nếu $x\ge 3$ thì ta có:
${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2x+2={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+2x+1>{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}$
$-2{{x}^{2}}+2x+2=-2\left( x\left( x-1 \right)-1 \right)<0$ (do $x\ge 3$) nên ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2x+2<{{x}^{4}}$
Suy ra ${{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}<{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2x+2<{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}$
Nên $\Delta '$ không là số chính phương, khi đó không tồn tại số nguyên $y$ thỏa mãn phương trình
Nếu $x<-1$, ta đặt $x=-a$ thì $a>1$. Khi đó $\Delta '=4\left( {{a}^{4}}-2{{a}^{2}}-2a+2 \right)$
Có $4\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}-2a+2 \right)-{{\left( 2{{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}=-8a+7<0$ (do $a>1$)
Lại có $4\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}-2a+2 \right)-{{\left( 2{{a}^{2}}-2 \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}-8a+4=4{{\left( a-1 \right)}^{2}}>0$
Suy ra ${{\left( 2{{a}^{2}}-2 \right)}^{2}}<4\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}-2a+2 \right)<{{\left( 2{{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}$, hay $\Delta '$ không là số chính phương, khi đó không tồn tại số nguyên $y$ thỏa mãn phương trình
Với $-1\le x\le 2$:
TH1: $x=-1$, thay vào phương trình ta được: ${{y}^{2}}+2y=4y-1\Leftrightarrow {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow y=1$
TH2: $x=0,$ thay vào phương trình ta được: ${{y}^{2}}+2y=7$, không tồn tại số nguyên $y$ thỏa mãn phương trình
TH3: $x=1,$ thay vào phương trình ta được: 
\({y^2} + 2y = 4y + 15 \Leftrightarrow \left( {y + 3} \right)\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 3\\y = 5\end{array} \right.\)
TH4: $x=2,$ thay vào phương trình ta được: ${{y}^{2}}+2y=16y+23\Leftrightarrow {{y}^{2}}-14y-23=0$, không tồn tại số nguyên $y$ thỏa mãn phương trình
 
Vậy các cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn phương trình là $\left( -1;1 \right),\left( 1;-3 \right),\left( 1;5 \right)$.