Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$ ta được
$\begin{array}{l} \sqrt {x - 3} + \sqrt {5 - x} = \sqrt {1.\left( {x - 3} \right)} + \sqrt {1.\left( {5 - x} \right)} \\ \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right).\left( {x - 3 + 5 - x} \right)} = \sqrt {2.2} = 2\\ x - 4\sqrt x + 6 = x - 4\sqrt x + 4 + 2 = {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} + 2 \ge 2 \end{array}$
Mà theo đề $x-4\sqrt x+5=\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}$ nên dấu bằng xảy ra.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x - 3} = \sqrt {5 - x} \\ \sqrt x - 2 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 4 \Rightarrow S = \left\{ 4 \right\} \end{array}$
