Điều kiện để phương trình có nghĩa $x$ $\geq1,$ $y$ $\geq-2,$ $z$ $\geq4$
$\sqrt[]{x-1}+\sqrt[]{y+2}+\sqrt[]{z-4}=$ $\frac{1}{2}(x+y+z)$
⇔ $2\sqrt[]{x-1}+2\sqrt[]{y-2}+2\sqrt[]{z-4}=x+y+z$
⇔ $x-2\sqrt[]{x-1}+y-2\sqrt[]{y-2}+z-2\sqrt[]{z-4}=0$
⇔ $x-1-2\sqrt[]{x-1}+1+y+2-2\sqrt[]{y+2}+1+z-4-2\sqrt[]{z-4}+1=0$
⇔ $(\sqrt[]{x-1}-1)^2+(\sqrt[]{y+2}-1)^2+(\sqrt[]{z-4}-1)^2=0$
Vế trái luôn không âm, dấu "=" xảy ra khi:
\begin{matrix}\sqrt[]{x-1}=1 & & \\ \sqrt[]{y+2}=1 & & \\ \sqrt[]{z-4}=1 & & \end{matrix}
⇔ \begin{matrix}x=2 & & \\ y=-1 & & \\ z=5& & \end{matrix}.
Vậy phương trình có nghiệm $(2;-1;5)$
