Đáp án: $ x = \dfrac{7 + \sqrt[]{29}}{2}$
Giải thích các bước giải:
$2x^2+3x-4=(4x-3)\sqrt{3x-1}$
ĐKXĐ: $ 3x - 1 ≥ 0$
Đặt $ y = \sqrt[]{3x - 1} ≥ 0 ⇔ y² = 3x - 1$
$⇔ 2y² - 6x + 2 = 0 (1)$
Thay vào phương trình:
$ ⇔ 2x² + 3x - 4 = (4x - 3)y $
$⇔ 2x² - 4xy + 3x + 3y - 4 = 0 (2)$
$(1) + (2)$ ta có:
$2(x² - 2xy + y²) - 3(x - y) - 2 = 0$
$ ⇔ 2(x - y)² - 3(x - y) - 2 = 0 $
$⇔ (x - y - 2)(2x - 2y + 1) = 0$
Th1: $ x - y - 2 = 0 ⇔ y = x - 2 $
$⇔ \sqrt[]{3x - 1} = x - 2$ $(x ≥ 2)$
$ ⇔ 3x - 1 = x² - 4x + 4 ⇔ x² - 7x + 5 = 0 $
$ ⇔ x = \dfrac{7 + \sqrt[]{29}}{2} > 2$ (loại nghiệm $x = \dfrac{7 - \sqrt[]{29}}{2} < 2)$
Th2: $ 2x - 2y + 1 = 0 ⇔ 2y = 2x + 1 $
$⇔ 2\sqrt[]{3x - 1} = 2x + 1$
$ ⇔ 4(3x - 1) = 4x² + 4x + 1 $
$⇔ 4x² - 8x + 5 = 0 $ (vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $ x = \dfrac{7 + \sqrt[]{29}}{2}$.
