Đáp án:
\(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=3\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ : $-1 ≤ x ≤ 4$
$( x - 3 )\sqrt[]{x+1} - x\sqrt[]{4-x} = 2x^{2} - 6x - 3$
⇔ $( x - 3 )\sqrt[]{x+1} - x\sqrt[]{4-x} + 3 = 2x( x - 3 )$
⇔ $[ ( x - 3 )\sqrt[]{x+1} - ( x - 3 ) ] + ( x - x\sqrt[]{4-x} ) = 2x( x - 3 )$
⇔ $( x - 3 )( \sqrt[]{x+1} - 1 ) + x( 1 - \sqrt[]{4-x} ) - 2x( x - 3 ) = 0$
⇔ $( x - 3 )×\frac{x+1-1}{\sqrt[]{x+1}+1} + x×\frac{1-4+x}{1+\sqrt[]{4-x}} - 2x( x - 3 ) = 0$
( Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ : $a^{2} - b^{2} = ( a - b )( a + b )$ )
⇔ $\frac{x(x-3)}{\sqrt[]{x+1}+1} + \frac{x(x-3)}{1+\sqrt[]{4-x}} - 2x( x - 3 ) = 0$
⇔ $x( x - 3 )( \frac{1}{\sqrt[]{x+1}+1} + \frac{1}{1+\sqrt[]{4-x}} - 2 ) = 0$
+) $x = 0$ (TM)
+) $x = 3$ (TM)
+) $\frac{1}{\sqrt[]{x+1}+1} + \frac{1}{1+\sqrt[]{4-x}} - 2 = 0$
Vì $\sqrt[]{x+1} + 1 ≥ 1 ; \sqrt[]{4-x} + 1 ≥ 1$ với $∀ -1 ≤ x ≤ 3$
⇒ $\frac{1}{\sqrt[]{x+1}+1} ≤ 1 ; \frac{1}{\sqrt[]{4-x}+1} ≤ 1$
⇒ $\frac{1}{\sqrt[]{x+1}+1} + \frac{1}{\sqrt[]{4-x}+1} ≤ 1 + 1$
⇔ $\frac{1}{\sqrt[]{x+1}+1} + \frac{1}{\sqrt[]{4-x}+1} ≤ 2$
⇔ $\frac{1}{\sqrt[]{x+1}+1} + \frac{1}{\sqrt[]{4-x}+1} - 2 ≤ 0$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $\left \{ {{x=-1} \atop {x=4}} \right.$ ( vô lí )
⇒ phương trình vô nghiệm
Kết hợp 3 trường hợp
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=3\end{array} \right.\)
