Đáp án: $x=7;y=14;z=29$
Giải thích các bước giải:
$ĐK:x>3;y>5;z>4$
`\sqrt{x-3}+\sqrt{y-5}+\sqrt{z-4}=20-\frac{4}{\sqrt{x-3}}-\frac{9}{\sqrt{y-5}}-\frac{25}{\sqrt{z-4}}`
`⇔\sqrt{x-3}+\sqrt{y-5}+\sqrt{z-4}+\frac{4}{\sqrt{x-3}}+\frac{9}{\sqrt{y-5}}+\frac{25}{\sqrt{z-4}}=20`
`⇔(\sqrt{x-3}+\frac{4}{\sqrt{x-3}})+(\sqrt{y-5}+\frac{9}{\sqrt{y-5}})+(\sqrt{z-4}+\frac{25}{\sqrt{z-4}})=20(*)`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta có:
`\sqrt{x-3}+\frac{4}{\sqrt{x-3}}≥2\sqrt{\sqrt{x-3}.\frac{4}{\sqrt{x-3}}}=2\sqrt{4}=2.2=4`
`\sqrt{y-5}+\frac{9}{\sqrt{y-5}}≥2\sqrt{\sqrt{y-5}.\frac{9}{\sqrt{y-5}}}=2\sqrt{9}=2.3=6`
`\sqrt{z-4}+\frac{25}{\sqrt{z-4}}≥2\sqrt{\sqrt{z-4}+\frac{25}{\sqrt{z-4}}}=2\sqrt{25}=2.5=10`
$⇒VT(*)≥4+6+10=20$
Dấu bằng xảy ra
`⇔\sqrt{x-3}=\frac{4}{\sqrt{x-3}}(1);\sqrt{y-5}=\frac{9}{\sqrt{y-5}}(2);\sqrt{z-4}=\frac{25}{\sqrt{z-4}}(3)`
Từ $(1)⇒(\sqrt{x-3})^2=4⇒x-3=4⇒x=7$ (thỏa mãn)
$(2)⇒(\sqrt{y-5})^2=9⇒y-5=9⇒y=14$ (thỏa mãn)
$(3)⇒(\sqrt{z-4})^2=25⇒z-4=25⇒z=29$ (thỏa mãn)
