Đáp án:
a) $ x = 0; x = 1$
b) $ x = 0$
c) $ x = 1$
Giải thích các bước giải:
a) ĐKXĐ $ : x(3x + 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ - \dfrac{1}{3} ; x ≥ 0$
$ x(x - 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ; x ≥ 1$
Kết hợp lại $ x ≤ - \dfrac{1}{3} ; x = 0; x ≥ 1(1)$
- Nếu $ x = 0$ thỏa mãn $ ⇒ x = 0$ là nghiệm
- Nếu $ x ≤ - \dfrac{1}{3} < 0$
$PT ⇔ \sqrt{(- x).(- 3x - 1)} - \sqrt{(- x)(1 - x)} = 2\sqrt{(- x)²}$
$ ⇔ \sqrt{- 3x - 1} - \sqrt{1 - x} = 2\sqrt{- x}$
$ ⇔ \sqrt{- 3x - 1} = \sqrt{1 - x} + 2\sqrt{- x}$
$ ⇔ - 3x - 1 = (1 - x) + 4(- x) + 4\sqrt{(- x)(1 - x)}$
$ ⇔ 4\sqrt{x(x - 1)} = 2(x - 1)$ (VN vì $ x ≤ - \dfrac{1}{3} ⇒ x - 1 < 0)$
- Nếu $ x ≥ 1 > 0$
$PT ⇔ \sqrt{3x + 1} - \sqrt{x - 1} = 2\sqrt{x}$
$ ⇔ \sqrt{3x + 1} = \sqrt{x - 1} + 2\sqrt{x}$
$ ⇔ 3x + 1 = (x - 1) + 4x + 4\sqrt{x(x - 1)}$
$ ⇔ 4\sqrt{x(x - 1)} = 2(1 - x)$
$ ⇔ x - 1 = 1 - x = 0 ⇔ x = 1$(vì $ x ≥ 1 x - 1 ≥ 0; 1 - x ≤ 0)$
b) ĐKXĐ $: x(x - 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ 0; x ≥ 1$
$ x(x + 2) ≥ 0 ⇔ x ≤ - 2; x ≥ 0; x³ ≥ 0 ⇔ x ≥ 0$
Kết hợp lại $ x = 0 ; x ≥ 1$
- Nếu $ x = 0$ thỏa mãn $ ⇒ x = 0$ là nghiệm
- Nếu $ x ≥ 1$:
$ PT ⇔ \sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 1} = 2x $
$ ⇔ (x + 2) + (x - 1) + 2\sqrt{x + 2}.\sqrt{x - 1} = 4x²$
$ ⇔ (3x² - 3x) + (x² + x - 2) - 2\sqrt{x² + x - 2} + 1 = 0$
$ ⇔ 3x(x - 1) + (\sqrt{x² + x - 2} - 1)² = 0$ (VN vì $x ≥ 1)$
Vậy PT có nghiệm duy nhất $x = 0$
c) ĐKXĐ $: x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 3; x ≥ 0$
$ 1 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1$
Kết hợp lại $ 0 ≤ x ≤ 1$
$ PT ⇔ [(x + 3) - x].(\sqrt{1 - x} + 1) = \sqrt{x + 3} + \sqrt{x}$
$ ⇔ 3(\sqrt{1 - x} + 1) = \sqrt{x + 3} + \sqrt{x}$
- Nếu $ x = 1$ thỏa mãn $ ⇒ x = 1$ là nghiệm
- Nếu $ 0 ≤ x < 1 $:
$VT = 3(\sqrt{1 - x} + 1) > 3$
$ VP = \sqrt{x + 3} + \sqrt{x} < \sqrt{4} + \sqrt{1} = 3$
$ ⇒ PT $ vô nghiệm khi $ 0 ≤ x < 1 $
Vậy PT có nghiệm duy nhất $x = 1$
