$\frac{x+1}{2010}+$ $\frac{x+3}{2008}+$ $\frac{x+4}{2007}+$ $\frac{x+9}{2002}=-4$
$=>$$(\frac{x+1}{2010}+1)+$ $(\frac{x+3}{2008}+1)+$ $(\frac{x+4}{2007}+1)+$ $(\frac{x+9}{2002}+1)=-4+4$
$=>$$\frac{x+2011}{2010}+$ $\frac{x+2011}{2008}+$ $\frac{x+2011}{2007}+$ $\frac{x+2011}{2002}=0$
$=>(x+2011)$$(\frac{1}{2010}+$ $\frac{1}{2008}+$ $\frac{1}{2007}+$ $\frac{1}{2002})=0$
$=>x+2011=0$
$=>x=-2011$