Đáp án:
\(S=\{3\}\)
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \(0<x\le 4\)
Đặt \(\begin{cases}\sqrt{2+\sqrt x}=a\\ \sqrt{2-\sqrt x}=b\end{cases}\)
\(\dfrac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{x}}} + \dfrac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{x}}}=\sqrt{2}\\\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{\sqrt 2+a}+\dfrac{b^2}{\sqrt 2-b} =\sqrt 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 2\left(a^2+b^2+ab-2\right)-ab(a-b)=2(a-b)\\ \Leftrightarrow \sqrt 2(ab+2)=(a-b)(ab+2)\\ \Leftrightarrow a-b=\sqrt 2\)
Suy ra, ta có hệ phương trình: \(\begin{cases}a-b=\sqrt 2\\ a^2+b^2=4\end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases}(a-b)^2=\left(\sqrt 2\right)^2\\ a^2+b^2=4\end{cases}\\ \Leftrightarrow\begin{cases}a^2+b^2-2ab=2\\ a^2+b^2=4\end{cases}\\ \Leftrightarrow ab=1\\ \Leftrightarrow \sqrt{4-x}=1\\ \Leftrightarrow \left(\sqrt{4-x}\right)^2=1 \\ \Leftrightarrow 4-x=1\\ \Leftrightarrow x=3(TM)\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(S=\{3\}\)
