Lời giải:
$2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}$
Điều kiện $x^3-1\ge0\Leftrightarrow(x-1)(x^2+x+1)\ge0\Leftrightarrow x\ge1$ (*)
Phương trình tương đương:
$2(x^2+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x^2+x+1)(x-1)}$
Đặt $\sqrt{x^2+x+1}=a\Rightarrow a^2=x^2+x+1$
và $\sqrt{x-1}=b\Rightarrow b^2=x-1$
Phương trình tương đương:
$2a^2+3b^2=7ab$
$\Leftrightarrow 2a^2-7ab+3b^2=0$
$\Leftrightarrow 2a^2-ab-6ab+3b^2=0$
$\Leftrightarrow a(2a-b)-3b(2a-1)=0$
$\Leftrightarrow (2a-b)(a-3b)=0$
$\Leftrightarrow 2a=b$ hoặc $a=3b$
Trường hợp 1: $2a=b$ ta có:
$2\sqrt{x^2+x+1}=3\sqrt{x-1}$
$\Rightarrow 4(x^2+x+1)=9(x-1)$
$\Leftrightarrow 4x^2-5x+13=0$
$\Delta =5^2-4.4.13<0$ nên phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: $a=3b$
$\sqrt{x^2+x+1}=3\sqrt{x-1}$
$\Rightarrow x^2+x+1=9(x-1)$
$\Leftrightarrow x^2-8x+10=0$
$\Delta'=4^2-10=6$
$\Rightarrow x=4\pm\sqrt6$ (nhận)
Vậy phương trình có nghiệm $x=4\pm\sqrt6$
Giải thích:
Sử dụng hằng đẳng thức: $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$
