Ptrinh đã cho tương đương vs
$\sin^2x + \sin x \sqrt{2} + \sin(2x) + \dfrac{3}{2} = 0$
$\Leftrightarrow \left(\sin^2x + 2 . \sin x . \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{2} \right) + 2\sin x \cos x + 1 = 0$
$\Leftrightarrow \left( \sin x + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + (\sin x + \cos x)^2 = 0$
Ta lại có
$\left( \sin x + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \geq 0$ với mọi $x$
và
$(\sin x + \cos x)^2 \geq 0$ với mọi $x$.
Suy ra $VT \geq 0$ với mọi $x$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
$\sin x + \dfrac{\sqrt{2}}{2} =0$ và $\sin x + \cos x = 0$
hay
$\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và $\sin x = -\cos x$
Suy ra
$\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$.
