Đáp án:
$ x = \dfrac{π}{4} + kπ; x = k2π; x = \dfrac{π}{2} + k2π $
$ x = arcsin\dfrac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} - \dfrac{π}{4} + k2π$
$ x = \dfrac{3π}{4} - arcsin\dfrac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} + k2π$
Giải thích các bước giải:
Với $a = sinx; b = cosx ⇒ a² + b² = 1$. Áp dụng HĐT :
$ a^{5} - b^{5} = (a - b)(a^{4} + a³b + a²b² + ab³ + b^{4})$
$ = (a - b)[(a² + b²)² - a²b² + ab(a² + b²)] = (a - b)(1 - a²b² + ab)$
Ta có $: sin^{5}x - cos^{5}x = (sinx - cosx)(1 - sin²xcos²x + sinxcosx)$
Thay vào $PT ⇔ sin²x - cos²x = (sinx - cosx)(1 - sin²xcos²x + sinxcosx)$
@ $sinx - cosx = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x = \dfrac{π}{4} + kπ$
@ $sinx + cosx = 1 - sin²xcos²x + sinxcosx$
$ ⇔ 4(sinx + cosx) = 4 - 4sin²xcos²x + 4sinxcosx (*)$
Đặt $: t = sinx + cosx = \sqrt{2}sin(x + \dfrac{π}{4})$
$ ⇒ t² = 1 + 2sinxcosx ⇒ 2sinxcosx = t² - 1$
$ ⇒ 4sin²xcos²x = t^{4} - 2t² + 1$ thay vào$(*):$
$ 4t = 4 - (t^{4} - 2t² + 1) + 2(t² - 1)$
$ ⇔ t^{4} - 4t² + 4t - 1 = 0 ⇔ (t - 1)²(t² + 2t - 1) = 0$
@ $ t - 1 = 0 ⇔ t = 1 (TM (*)) ⇔ sinx + cosx = 1$
$ ⇔ \sqrt{2}sin(x + \dfrac{π}{4}) = 1 ⇔ sin(x + \dfrac{π}{4}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$ x + \dfrac{π}{4} = \dfrac{π}{4} + k2π ⇔ x = k2π$
$ x + \dfrac{π}{4} = π - \dfrac{π}{4} + k2π ⇔ x = \dfrac{π}{2} + k2π$
@ $ t² + 2t - 1 = 0 ⇒ t = \sqrt{5} - 1(TM (*))$ (loại $ t = - (\sqrt{5} + 1)$)
$ ⇔ \sqrt{2}sin(x + \dfrac{π}{4}) = \sqrt{5} - 1 ⇔ sin(x + \dfrac{π}{4}) = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}}$
$ x + \dfrac{π}{4} = arcsin\dfrac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} + k2π$
$ ⇔ x = arcsin\dfrac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} - \dfrac{π}{4} + k2π$
$ x + \dfrac{π}{4} = π - arcsin\dfrac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} + k2π$
$ ⇔ x = \dfrac{3π}{4} - arcsin\dfrac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} + k2π$
