Vs $m = 0$, ptrinh trở thành
$-2 = 0$
Vậy ptrinh vô nghiệm.
Ta xét vs $m \neq 0$
Khi đó, ta có
$\Delta = m^2(5m + 1)^2 +4m^2(5m+2)$
$= m^2(2m^2 + 10m +1) + 20m^3 + 8m^2$
$= m^2(2m^2 +30m +9)$
Xét ptrinh
$2m^2 + 30m + 9 = 0$
Có nghiệm là $m = \dfrac{-15 \pm 3\sqrt{23}}{2}$
TH1: $\Delta < 0$
Điều này tương đương vs
$2m^2 + 30m + 9 <0$
Suy ra $\dfrac{-15 - 3\sqrt{23}}{2} < m < \dfrac{-15 + 3\sqrt{23}}{2}$.
TH2: $\Delta = 0$
Tương đương vs
$2m^2 + 30m + 9 = 0$
Do đó $m = \dfrac{-15 \pm 3\sqrt{23}}{2}$.
TH3: $\Delta > 0$
Tương đương vs
$2m^2 + 30m + 9 = 0$
Do đó $m > \dfrac{-15 + 3\sqrt{23}}{2}$ hoặc $m < \dfrac{-15 - 3\sqrt{23}}{2}$.
Vậy ptrinh vô nghiệm khi $\dfrac{-15 - 3\sqrt{23}}{2} < m < \dfrac{-15 + 3\sqrt{23}}{2}$.
Ptrinh có nghiệm kép khi $m = \dfrac{-15 \pm 3\sqrt{23}}{2}$.
Ptrinh có 2 nghiệm phân biệt khi $m > \dfrac{-15 + 3\sqrt{23}}{2}$ hoặc $m < \dfrac{-15 - 3\sqrt{23}}{2}$.
