`a)` `BD;CE` là hai đường cao của $∆ABC$
`=>BD`$\perp AC$ tại $D$
`=>\hat{BDC}=90°`
`\qquad CE`$\perp AB$ tại $E$
`=>\hat{BEC}=90°`
`=>\hat{BDC}=\hat{BEC}=90°`
`=>BCDE` nội tiếp (vì có hai đỉnh kề nhau $D;E$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông)
$\\$
Gọi $I$ là trung điểm $BC$
`=>DI` là trung tuyến $∆BDC$ vuông tại $D$
`=>DI=BI=CI=1/ 2 BC`
`\qquad EI` là trung tuyến $∆BEC$ vuông tại $E$
`=>EI=BI=CI=1/ 2 BC`
`=>BI=CI=DI=EI=1/ 2 BC`
`=>` Đường tròn ngoại tiếp $BCDE$ có tâm $I$ là trung điểm $BC$
`b)`
`α)` $BCDE$ nội tiếp (c/m trên)
`=>\hat{ADE}=\hat{ABC}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
Xét $∆ADE$ và $∆ABC$ có:
`\qquad \hat{A}` chun
`\qquad \hat{ADE}=\hat{ABC}`
`=>∆ADE∽∆ABC` (g-g)
$\\$
`β)` $∆ADE∽∆ABC$ (c/m trên)
`=>{AD}/{AB}={AE}/{AC}`
`=>AE.AB=AD.AC`
$\\$
`c)` $xy$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$
`=>xy`$\perp OA$ tại $A$ $(1)$
Ta có:
`\qquad \hat{xAB}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)
Ta lại có: `BCDE` nội tiếp (c/m trên)
`=>\hat{AED}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
`=>\hat{xAB}=\hat{AED}`
Mà `\hat{xAB};\hat{AED}` ở vị trí so le trong
`=>xy`//$DE$ $\ (2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>DE`$\perp OA$
