Đáp án:
$B.\ \dfrac{125a^2}{4}$
Giải thích các bước giải:
Dễ dàng tính được $AC = BD = 5a$ (Theo định lý $Pythagoras$)
$\Rightarrow HI = HB = \dfrac12IB = \dfrac{5a}{2}$
Ta có:
$SH\perp (ABCD)\quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABCD))} = \widehat{SBH} = 45^\circ$
$\Rightarrow HS = HB = \dfrac{15a}{4}$
$\Rightarrow SB = \dfrac{15a\sqrt2}{4}$
Từ $d$ dựng đường thẳng $d\perp (ABCD)$
Do $IA = IB = IC = ID$
nên $d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$
Gọi $M = d\cap SB;\ N$ là trung điểm $SB$, trung trực $SB$ cắt $d$ tại $O$
$\Rightarrow NB = NS = \dfrac{15a\sqrt2}{8},\ O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$
Ta được: $\widehat{IMB} = \widehat{IBM}= 45^\circ$
$\Rightarrow IM = IB = \dfrac{5a}{2}$
$\Rightarrow MB = \dfrac{5a\sqrt2}{2}$
$\Rightarrow ON = MN = MB - NB = \dfrac{5a\sqrt2}{2} - \dfrac{15\sqrt2}{8} = \dfrac{5a\sqrt2}{8}$
$\Rightarrow OS = \sqrt{ON^2 + NS^2} = \sqrt{\left(\dfrac{5a\sqrt2}{8}\right)^2 + \left(\dfrac{15a\sqrt2}{8}\right)^2} = \dfrac{5a\sqrt5}{4}$
$\Rightarrow R = \dfrac{5a\sqrt5}{4}$
$\Rightarrow S = 4\pi R^2 = 4\pi\cdot \left(\dfrac{5a\sqrt5}{4}\right)^2 = \dfrac{125a^2}{4}$
