Đáp án:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} b.\ m=-2\\ c.\ m=0\ hoặc\ m=-\frac{8}{3}\\ d.\ m=\mathbb{R}\\ e.\ m >0\\ f.\ m=0\\ g.m=\mathbb{R}\\ h.m=\pm 1 \end{array}$

Giải thích các bước giải:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Xét\ PT\ hoành\ độ\ giao\ điểm:\\ x^{2} -mx-1=0\\ a.\ Xét\ \Delta =m^{2} +4 >0\\ \Rightarrow \ PT\ có\ 2\ nghiệm\ phân\ biệt\\ \Rightarrow ( P) \ và\ ( d) \ luôn\ cắt\ nhau\ tại\ 2\ điểm\ \\ phân\ biệt\ A\left( x_{1} ;x_{1}^{2}\right) \ và\ B\left( x_{2} ;x_{2}^{2}\right) .\\ Theo\ Viet:\ x_{1} +x_{2} =m\ ( 1) ;\ \\ x_{1} x_{2} =-1< 0\\ \Rightarrow A\ và\ B\ nằm\ ở\ 2\ phía\ trục\ tung.\\ ( P) \ và\ ( d) \ luôn\ cắt\ nhau\ tại\ 2\ điểm\ \\ phân\ biệt\ A\left( x_{1} ;x_{1}^{2}\right) \ và\ B\left( x_{2} ;x_{2}^{2}\right) .\\ Vậy\ ( P) \ và\ ( d) \ luôn\ cắt\ nhau\ tại\ 2\ điểm\ \\ phân\ biệt\ A\left( x_{1} ;x_{1}^{2}\right) \ và\ B\left( x_{2} ;x_{2}^{2}\right) \ nằm\\ \ 2\ phía\ trục\ tung.\\ b.\ Ta\ có:\ x_{1}^{2} x_{2} +x_{1} x_{2}^{2} -x_{1} x_{2} =3\\ \Leftrightarrow \ x_{1} x_{2}( x_{1} +x_{2}) -x_{1} x_{2} =3\\ \Leftrightarrow -1.m\ +1=3\\ \Leftrightarrow m=-2\\ c.\ Ta\ có:\ x_{1} -3x_{2} =-4\Leftrightarrow x_{1} =3x_{2} -4\ ( *) ,\\ thay\ vào\ ( 1) :\ 3x_{2} -4+x_{2} =m\\ \Leftrightarrow x_{2} =\frac{1}{4} m+1,\ thay\ vào\ ( *)\\ \Rightarrow x_{1} =3\left(\frac{1}{4} m+1\right) -4=\frac{3}{4} m-1\\ Ta\ có:\ x_{1} x_{2} =-1\\ \Leftrightarrow \left(\frac{1}{4} m+1\right)\left(\frac{3}{4} m-1\right) =-1\\ \Leftrightarrow \frac{3}{16} m^{2} +\frac{1}{2} m=0\\ \Leftrightarrow m=0\ hoặc\ m=-\frac{8}{3}\\ d.\ M=( y_{1} -1)( y_{2} -1) =\left( x_{1}^{2} -1\right)\left( x_{2}^{2} -1\right)\\ =( x_{1} x_{2})^{2} +1-\left[( x_{1} +x_{2})^{2} -2x_{1} x_{2}\right]\\ =1+1-\left( m^{2} +2\right) =-m^{2} \leqslant 0\\ Vậy\ GTLN\ của\ M=0,\ dấu\ "="\ xảy\ ra\ \Leftrightarrow m=0\\ e.\ |x_{1} |< |x_{2} |\\ \Leftrightarrow |x_{1} |-|x_{2} |< 0\\ \Leftrightarrow -x_{1} -x_{2} < 0\ ( do\ x_{1} < 0< x_{2})\\ \Leftrightarrow -( x_{1} +x_{2}) < 0\\ \Leftrightarrow -m< 0\\ \Leftrightarrow m >0\\ f.\ |x_{1} |=|x_{2} |\\ \Leftrightarrow \ |x_{1} |-|x_{2} |=0\\ \Leftrightarrow x_{1}^{2} +x_{2}^{2} -2|x_{1} ||x_{2} |=0\\ \Leftrightarrow x_{1}^{2} +x_{2}^{2} +2x_{1} x_{2} =0\ ( do\ x_{1} < 0< x_{2})\\ \Leftrightarrow ( x_{1} +x_{2})^{2} =0\\ \Leftrightarrow m^{2} =0\\ \Leftrightarrow m=0\\ g.\ |x_{1} -x_{2} |\geqslant 2\\ \Leftrightarrow ( x_{1} -x_{2})^{2} \geqslant 4\\ \Leftrightarrow x_{1}^{2} +x_{2}^{2} -2x_{1} x_{2} \geqslant 4\\ \Leftrightarrow ( x_{1} +x_{2})^{2} -4x_{1} x_{2} \geqslant 4\\ \Leftrightarrow m^{2} +4\geqslant 4\\ \Leftrightarrow m^{2} \geqslant 0\ \ luôn\ đúng\ \\ h.\ AB=\sqrt{( x_{1} -x_{2})^{2} +\left( x_{1}^{2} -x_{2}^{2}\right)^{2}} =2\sqrt{10}\\ \Leftrightarrow x_{1}^{2} +x_{2}^{2} -2x_{1} x_{2} +( x_{1} +x_{2})^{2}( x_{1} -x_{2})^{2} =40\\ \Leftrightarrow ( x_{1} +x_{2})^{2} -4x_{1} x_{2} +( x_{1} +x_{2})^{2}\left[( x_{1} +x_{2})^{2} -4x_{1} x_{2}\right] =40\\ \Leftrightarrow m^{2} +4+m^{2}\left( m^{2} +4\right) =10\\ \Leftrightarrow m^{4} +5m^{2} -6=0\\ \Leftrightarrow m=\pm 1 \end{array}$