Lời giải:
a) Ta có:
$O$ là tâm của hình vuông $ABCD$
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD$
Khi đó:
$\begin{cases}SA = SC\\OA = OC\end{cases}$
$\Rightarrow SO$ là trung trực của $AC$
$\Rightarrow SO\perp AC$
$\begin{cases}SB = SD\\OB = OD\end{cases}$
$\Rightarrow SO$ là trung trực của $BD$
$\Rightarrow SO\perp BD$
và $AC\cap BD = \{O\}$
nên $SO\perp (ABCD)$
b) Ta có: $SO\perp (ABCD)$ (câu a)
$\Rightarrow O$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$
Lại có: $SA\cap (ABCD) = \{A\}$
$\Rightarrow OA$ là hình chiếu của $SA$ lên $(ABCD)$
$\Rightarrow \widehat{(SA;(ABCD))} =\widehat{SAO}$
Ta có: $\cos\widehat{SAO} = \dfrac{OA}{SA} = \dfrac{\dfrac{AB\sqrt2}{2}}{SA}$
$\Rightarrow \cos\widehat{SAO} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{2}}{2a} = \dfrac{\sqrt2}{4}$
$\Rightarrow \widehat{SAO} = \arccos\dfrac{\sqrt2}{4}$
hay $\widehat{(SA;(ABCD))} =\arccos\dfrac{\sqrt2}{4}$
c) Ta có:
$SO\perp BD$ (câu a)
$BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông)
$\Rightarrow BD\perp (SAC)$
$BD\cap (SAC) = \{O\}$
$\Rightarrow O$ là hình chiếu của $B$ lên $(SAC)$
Lại có: $SB\cap (SAC) = \{S\}$
$\Rightarrow SO$ là hình chiếu của $SB$ lên $(SAC)$
$\Rightarrow \widehat{(SB;(SAC))} = \widehat{OSB}$
Ta có: $\sin\widehat{OSB} = \dfrac{OB}{SB} = \dfrac{\dfrac{AB\sqrt2}{2}}{SB}$
$\Rightarrow \sin\widehat{OSB} =\dfrac{\sqrt2}{4}$
$\Rightarrow \widehat{SAO} = \arcsin\dfrac{\sqrt2}{4}$
hay $\widehat{(SB;(SAC))} = \arcsin\dfrac{\sqrt2}{4}$
