Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
a,\\
{a^2}\left( {a + 1} \right) + 2a\left( {a + 1} \right)\\
= \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 2a} \right)\\
= \left( {a + 1} \right).a.\left( {a + 2} \right)\\
= a.\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)
\end{array}\)
\(a,\,\,a + 1,\,\,a + 2\) là 3 số nguyên liên tiếp nên trong 3 số này tồn tại một số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chia hết cho 2. Do đó, \(a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)\,\, \vdots \,\,6\)
\(\begin{array}{l}
b,\\
a\left( {2a - 3} \right) - 2a.\left( {a + 1} \right)\\
= \left( {2{a^2} - 3a} \right) - \left( {2{a^2} + 2a} \right)\\
= 2{a^2} - 3a - 2{a^2} - 2a\\
= - 5a\,\, \vdots \,\,5\\
c,\\
{x^2} + 2x + 2\\
= \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 1\\
= {\left( {x + 1} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0,\,\,\,\forall x\\
d,\\
{x^2} - x + 1\\
= \left( {{x^2} - x + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{3}{4}\\
= \left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right) + \dfrac{3}{4}\\
= {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4} > 0,\,\,\,\forall x\\
e,\\
- {x^2} + 4x - 5\\
= \left( { - {x^2} + 4x - 4} \right) - 1\\
= - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 1\\
= - 1 - \left( {{x^2} - 2.x.2 + {2^2}} \right)\\
= - 1 - {\left( {x - 2} \right)^2}\\
= - \left[ {1 + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]\\
1 + {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 1,\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow - \left[ {1 + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right] \le - 1 < 0,\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow - {x^2} + 4x - 5 < 0,\,\,\,\forall x
\end{array}\)
